Grile într-un grup

O rețea dintr-un grup compact local este un subgrup discret al grupului al cărui spațiu coeficient are o măsură Haar finită .

Cel mai simplu exemplu de zăbrele este zăbrele în $\mathbb {R} ^{n}$ .

Se studiază adesea rețelele în grupuri Lie sau (mai general) în grupuri algebrice semisimple peste câmpuri locale . În acest domeniu au fost dovedite multe rezultate legate de conceptul de rigiditate: teorema de rigiditate a lui Mostov, teorema de aritmetică a lui Margulis . Orice subgrup discret cocompact al unui grup Lie este o rețea, dar invers nu este adevărat: de exemplu, pentru un subgrup, volumul factorului în raport cu acesta este finit, dar nu este cocompact (factorul în raport cu acesta este un mănunchi tangent unitar la o suprafață modulară care are o singularitate cuspidală și, prin urmare, necompactă) . $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$

Grilele din alte clase de grupuri sunt, de asemenea, bine studiate: în grupuri legate de algebrele Kac-Moody , și în grupuri de automorfism de arbori obișnuiți .

Laticele sunt de interes pentru multe domenii ale matematicii: teoria grupelor geometrice , geometria diferențială , teoria ergodică , combinatoria .

Literatură

G. A. Margulis. Proprietăți aritmetice ale subgrupurilor discrete // Uspekhi Mat. - 1974. - T. 29. - S. 49–98.