Domeniul local

Un câmp local este un tip specific de câmp cu o topologie , care apare adesea ca completări de câmpuri.

Definiție

Un câmp topologic compact local cu topologie nediscretă se numește local .

Tipuri

Există două tipuri principale de câmpuri locale: cele în care valoarea absolută este arhimediană și cele în care nu este. Primele sunt numite câmpuri locale arhimedeene , în timp ce cele din urmă sunt numite câmpuri locale non-arhimediene .

Orice câmp local este izomorf (ca câmp topologic) cu unul dintre următoarele câmpuri:

Câmpuri locale arhimediene ( caracteristica este zero): câmpul numerelor reale și câmpul numerelor complexe . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Câmpuri locale non-Arhimede de caracteristică zero: numere p -adice și extensiile lor finite . $\Q_p$
Câmpuri locale de caracteristică non-Arhimedian : seria Laurent formală peste un câmp finit și extensiile lor finite . $p\neq 0$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Proprietăți

Proprietăți generale

Grupul aditiv al unui câmp local, ca orice grup topologic compact local, are o măsură Haar unică (până la înmulțirea cu un număr pozitiv) μ.
Pe orice câmp local , puteți introduce o valoare absolută astfel încât $K$ $|a|$ $|a|={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)))$

pentru unele (și, prin urmare, oricare) submulțimi măsurabile cu o măsură Haar finită diferită de zero.

X\subset K

Câmpuri non-Arhimediene

Într-un câmp local non-Arhimedean cu valoare absolută , pot fi date următoarele definiții: $K$ $|{*}|$
- Inel de numere întregi ${\mathcal {O}}=\{a\in K:|a|\leqslant 1\}.$
  - Formează un inel normat discret și o bilă compactă în . $(K,|{*}|)$
- Unitățile din inelul numerelor întregi sunt definite ca . ${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}$
  - Ele formează o sferă de grup și o unitate în . $(K,|{*}|)$
- Singurul ideal prim diferit de zero din inelul numerelor întregi este bila unității deschise $\mathfrak{m}$ $\{a\in K:|a|<1\},$

iar elementul său de formare se numeşte element de uniformizare .

\omega \in {\mathfrak {m)}

K

Câmpul rămas este finit deoarece este compact și discret . $k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$
În acest caz , unde este puterea câmpului de reziduuri . $|\omega |={\tfrac {1}{|k|}}$ $|k|$ $k$

Fiecare element diferit de zero poate fi scris ca , unde este un element de identitate, este un număr întreg determinat în mod unic de . $a\în K$ $a=\omega ^{n}\cdot u$ $u$ $n$ $A$
- În special $|a|=|k|^{-n}=|\omega |^{n}.$

Vezi și

domeniu global