Spațiu compact local

Un spațiu local compact  este un spațiu topologic , al cărui punct are o vecinătate deschisă , a cărui închidere este compactă [1] [2] [3] . Uneori se folosește o definiție mai slabă: este suficient ca fiecare punct să aibă o vecinătate compactă (deschiderea vecinătății nu se presupune aici) [4] [5] . În cazul unui spațiu Hausdorff , aceste definiții sunt echivalente.

Exemple

• Orice spațiu compact este compact local.
• Orice spațiu euclidian este compact local. Aceasta rezultă din lema Heine-Borel și, de asemenea, din faptul că produsul unui număr finit de spații compacte este compact.
• Totuși, niciun spațiu normat cu dimensiuni infinite nu este compact local.
• Orice varietate topologică este compactă local.
• Spațiile discrete sunt compacte local (uneori numite varietăți de dimensiune 0), în timp ce spațiile discrete infinite nu sunt compacte.
• Orice subset închis al unui spațiu local compact este local compact.

Proprietăți

Un spațiu Hausdorff compact local este un spațiu complet obișnuit .

O compactare într-un punct a unui spațiu topologic este Hausdorff dacă și numai dacă este compact local și Hausdorff.

Un subspațiu X al unui spațiu Hausdorff compact local este compact local dacă și numai dacă există submulțimi închise A și B astfel încât . Aceasta implică faptul că o submulțime densă a unui spațiu Hausdorff compact local este compactă local dacă și numai dacă este deschisă. Mai mult, dacă un subspațiu al unui spațiu Hausdorff arbitrar este local compact, atunci poate fi scris ca diferența a două submulțimi închise; afirmația inversă nu mai este adevărată în acest caz.

Produsul unei familii de spații topologice este compact local dacă și numai dacă toate spațiile din familie sunt compacte local și toate, cu excepția poate unui număr finit, sunt compacte.

Imaginea unui spațiu local compact sub o mapare continuă deschisă pe un spațiu Hausdorff este compactă local.

Spațiile factoriale ale spațiilor Hausdorff compacte local sunt generate compact . În schimb, orice spațiu Hausdorff generat compact este un spațiu coeficient al unui spațiu Hausdorff compact local.

Grupuri compacte local

Definiția compactității locale este deosebit de importantă în studiul grupurilor topologice , deoarece o măsură Haar poate fi introdusă pe orice grup compact Hausdorff local , permițând integrarea funcțiilor în acest grup. Măsura Lebesgue on este un caz special al măsurii Haar.

Dualul Pontryagin al unui grup topologic abelian A este compact local dacă și numai dacă A este compact local. Mai precis, categoria grupurilor abeliene compacte la nivel local este auto-duală în raport cu dualitatea Pontryagin. Grupurile abeliene compacte la nivel local sunt utilizate în analiza armonică , una dintre secțiunile moderne ale cărora se bazează pe studiul lor.

Note

1. ↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Topologie elementară. — M.: MTSNMO, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 .
2. ↑ P. S. Alexandrov. Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. — M .: GIITL, 1948.
3. ↑ Iu. G. Borisovici, N. M. Bliznyakov, T. M. Fomenko. Introducere în topologie. Ed. a II-a, adaugă. — M.: Nauka. Fizmatlit., 1995. ISBN 5-02-014118-6 .
4. ↑ J. L. Kelly. Topologie generală. — M .: Nauka, 1968.
5. ↑ Munkres, James (1999). Topologie (ed. a II-a). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2 .

Literatură

• Engelking R. Topologie generală. —M.:Mir, 1986. — 752 p.