Funcția simetrică

O funcție simetrică a n variabile este o funcție a cărei valoare pe orice n - tuplu de argumente este aceeași cu valoarea oricărei permuții a acestui n - tuplu [1] . Dacă, de exemplu, , funcția poate fi simetrică pe toate variabilele sau perechile , sau . Deși se poate referi la orice funcții pentru care n argumente au același domeniu, cel mai frecvent se referă la polinoame , care în acest caz sunt polinoame simetrice . În afară de polinoame, teoria funcțiilor simetrice este slabă și puțin utilizată. De asemenea, numărul exact de variabile nu este de obicei important, se crede că pur și simplu sunt destul de multe. Pentru a face această idee mai riguroasă, limita proiectivă este folosită pentru a trece la așa-numitul inel de funcții simetrice , care formal conține un număr infinit de variabile. $f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})$ $(x_{1},x_{2})$ $(x_{2},x_{3})$ $(x_{1},x_{3})$ $\lambda$

Simetrizare

Având în vedere orice funcție f a n variabile cu valori într- un grup abelian (adică într-un grup cu o operație comutativă), o funcție simetrică poate fi construită prin însumarea valorilor lui f peste toate permutațiile argumentelor. În mod similar, funcția antisimetrică poate fi construită ca suma peste toate permutările pare, din care se scade suma peste toate permutările impare. Aceste operații sunt, desigur, ireversibile și pot duce la o funcție identică zero pentru o funcție non-trivială f . Singurul caz în care f poate fi recuperat atunci când se cunosc simetria și antisimetrizarea funcției este atunci când n = 2 și grupul abelian poate fi împărțit la 2 (inversul dublării). În acest caz, f este egal cu jumătate din suma simetrizării și antisimetrizării.

Inel de funcții simetrice

Se consideră acțiunea unui grup simetric asupra unui inel polinomial în n variabile. Funcționează prin permutarea variabilelor. După cum am menționat mai sus, polinoamele simetrice sunt exact acelea care nu se schimbă sub acțiunea elementelor acestui grup. Astfel, ele formează un subring: $S_{n)$ $\mathbb {Z} [x_{1},\dots,x_{n}]$

\Lambda _{n}=\mathbb {Z} [x_{1},\dots,x_{n}]^{S_{n))

La rândul său, este un inel gradat : $\Lambda _{n}$

\Lambda _{n}=\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda _{n}^{k)

, unde constă din polinoame simetrice omogene de grad k , precum și un polinom zero.

\Lambda _{n}^{k)

Apoi, folosind limita proiectivă , definim inelul funcțiilor simetrice de gradul k :

\Lambda ^{k}=\varprojlim _{n}\Lambda _{n}^{k)

În final, obținem un inel gradat , care se numește inelul funcțiilor simetrice. $\Lambda =\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda ^{k)$

Remarci.

$\lambda$ nu este o limită proiectivă (în categoria inelelor). De exemplu, un produs infinit nu este conținut în , deoarece conţine monomii de grad arbitrar mare. $\Lambda _{k)$ $\prod _{j=1}^{\infty }(1+x_{j})$ $\lambda$
„Determinant” nu are nici echivalent în . $(\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j))^{2}$ $\lambda$

Bazele în spațiul funcțiilor simetrice

Baza monomială. Pentru fiecare partiție , definim un monom .Nu este un polinom simetric și, de asemenea, conține doar un număr finit de variabile care intră în el cu un grad diferit de zero. Acum să însumăm mulțimea de monomii obținute din acesta prin toate permutările posibile de indici (fiecare monom se însumează o singură dată, chiar dacă poate fi obținut folosind mai multe permutări diferite): . Este ușor de înțeles că astfel de care formează o bază și, prin urmare, toate formează o bază , care se numește monom. $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )$ $x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}\dots$ $x_{\alpha }^{\lambda )$ $\alfa$ $m_{\lambda}=\sum _{\alpha }x_{\alpha }^{\lambda )$ $m_{\lambda }$ $|\lambda |=n$ $\Lambda ^{n)$ $m_{\lambda }$ $\lambda$

Funcții simetrice elementare. Pentru fiecare număr întreg , definim — suma tuturor produselor posibile din r variabile diferite. Astfel , pentru : $r\geq 0$ $e_{r)$ $e_{0}=1$ $r\geq 1$

e_{r}=\sum _{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{r}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\dots x_{i_{ r}}=m_{(1^{r})}

Pentru fiecare partiție , funcția simetrică elementară este Ei formează o bază în spațiu .

\lambda

e_{\lambda }=e_{\lambda _{1}}e_{\lambda _{2}}\dots

\lambda

Funcții simetrice complete. Pentru fiecare număr întreg definim — suma tuturor funcțiilor monomiale de gradul r . Astfel , pentru : $r\geq 0$ $h_{r)$ $h_{0}=1$ $r\geq 1$

{\displaystyle h_{r}=\sum _{|\lambda |=r}m_{\lambda ))

Mai departe, ca și în cazul funcțiilor elementare, setăm

h_{\lambda }=h_{\lambda _{1}}h_{\lambda _{2}}\dots

Sume de putere. Pentru fiecare , se numește suma puterii . $r\geq 1$ $p_{r}=\sum _{i\geq 1}^{\infty }x_{i}^{r}=m_{(r))$

Pentru partiţionare , suma de putere este definită ca $\lambda$ $p_{\lambda }=p_{\lambda _{1}}p_{\lambda _{2}}\dots$

Identități.

$\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{ki}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1) ^{i}h_{i}e_{ki}$ , pentru toate k > 0 ,
$ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{ki)$ , pentru toate k > 0 ,
$kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{ki)$ , pentru toate k > 0 .

Relații pentru generarea de funcții.

Este ușor să arăți asta $E(t)=\sum _{r\geq 0}e_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1+x_{i}t)$

De asemenea $H(t)=\sum _{r\geq 0}h_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1-x_{i}t)^{-1}$

De aici rezultă relația $H(t)E(-t)=1$

În cele din urmă, . $P(t)=\sum _{r\geq 1}p_{r}t^{r-1}=\sum _{i\geq 1}\sum _{r\geq 1}x_{i }^{r}t^{r-1}=\sum _{i\geq 1}{\frac {x_{i}}{1-x_{i}t}}=\sum _{i\geq 1 }{\frac {d}{dt}}ln{\frac {1}{1-x_{i}t}}={\frac {d}{dt}}ln\prod _{i\geq 1}( 1-x_{i}t)^{-1}={\frac {d}{dt}}lnH(t)={\frac {H'(t)}{H(t)))$

Primim la fel . $P(-t)={\frac {d}{dt}}lnE(t)={\frac {E'(t)}{E(t)))$

Funcții Schur . Să existe un număr finit de variabileși o partițieastfel încât(lungimea partiției să nu depășească numărul de variabile). Atunci polinomul Schur al unei partițiiîn n variabile esteun polinom simetric omogen de grad. La, aceste polinoame converg la un singur element, numit funcţia de partiţie Schur. $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n)$ $\lambda$ $l(\lambda)\leq n$ $\lambda$ $s_{\lambda}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})={\frac {det(x_{i}^{\lambda _{j}+nj}) _{1\leq i,j\leq n}}{det(x_{i}^{nj})_{1\leq i,j\leq n}}}$ $|\lambda |$ $n\rightarrow \infty$ $s_{\lambda}\in \Lambda$ $\lambda$

Funcțiile lui Jack . Odată cu introducerea unui produs scalar special,se realizează o generalizare a funcțiilor Schur, păstrând multe dintre proprietățile lor. $\lambda$

Aplicații

U-statistici

În statistică , o statistică n eșantion (o funcție de n variabile) obținută prin simetrizarea bootstrap a unei statistici pe un eșantion de k elemente oferă o funcție simetrică a n variabile, numită U-statistică . Exemplele includ media eșantionului și varianța eșantionului .

Vezi și

Polinoame simetrice elementare
Funcție cvasi-simetrică
Inel de funcții simetrice

Note

↑ Van der Waerden, 1979 , p. 121.

Literatură

Macdonald IG Funcții simetrice și polinoame ortogonale. New Brunswick, New Jersey. Seria de prelegeri universitare, 12. Societatea Americană de Matematică, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 p. ISBN 0-8218-0770-6 MR : 1488699
Macdonald IG Funcții simetrice și polinoame Hall. a doua editie. Monografii matematice din Oxford. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 Ediția I (nedeterminată) . — 1979.
McDonald I. Funcții simetrice și polinoame Hall. -Mir, 1984. - 224 p.
David FN, Kendall MG , Barton DE funcția simetrică și mesele aliate. — Cambridge University Press , 1966.
Joseph PS Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Combinatorică: Calea Rota. – Cambridge University Press, 2009. – xii+396 p. - ISBN 978-0-521-73794-4 .
— §5.1 Funcții simetrice, p. 222–225.
— §5.7. Funcții simetrice peste câmpuri finite, p. 259–270.
Van der Waerden B. L. Algebră. - M . : „Nauka”, 1979.
- §33. Funcții simetrice, p. 121.