Limită proiectivă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 18 februarie 2021; verificările necesită 4 modificări .

Limita proiectivă ( limita inversă ) este o construcție folosită în diverse ramuri ale matematicii care vă permite să construiți un nou obiect dintr-o familie (indexată printr-o mulțime direcționată ) de obiecte de același tip și un set de mapări , . Unul dintre tipurile de limite din teoria categoriilor . $X$ $X_{i}$ $f_{{ij}}:X_{j}\la X_{i}$ $i\leqslant j$

Următoarea notație este folosită în mod obișnuit pentru limita proiectivă:

X=\varprojlim X_{i}

X=\projlim X_{i}

Limita proiectivă poate fi definită într-o categorie arbitrară . Conceptul dual este limita directă .

Istorie

Limitele proiective apar în lucrările lui Aleksandrov . [unu]

Definiție

Structuri algebrice

Pentru sistemele algebrice, limita proiectivă este definită după cum urmează. Fie o mulțime direcționată (de exemplu, mulțimea numerelor întregi ), și fie fiecare element asociat cu un sistem algebric dintr-o clasă fixă (de exemplu, grupuri abeliene , module peste un inel dat ) și fiecare pereche astfel încât , , să fie asociat cu un homomorfism și — mapări identice pentru oricare și pentru oricare dintre . Atunci mulțimea purtătoare a limitei proiective a unei familii direcționate este o submulțime a produsului direct , pentru ale cărui elemente fiecare componentă este echivalentă cu componentele cu indici mai mici: $eu$ $\leqslant$ $i\în eu$ $X_{i}$ $(i,\;j)$ $i,\;j\în I$ $i\leqslant j$ $f_{{ij}}:X_{j}\la X_{i}$ $f_{{ii}}$ $i\în eu$ $f_{{ik}}=f_{{ij}}\circ f_{{jk}}$ $i\leqslant j\leqslant k$ $eu$ $X$ $X_{i}$

\varprojlim X_{i}={\biggl \{}(x_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}\;{\bigg |}\;x_{i} =f_{ij}(x_{j})\ \forall i\leqslant j{\biggr \}}.

Există proiecții canonice care aleg pentru fiecare componentă a produsului direct . Aceste proiecții trebuie să fie homomorfisme, pe baza cărora este posibilă restabilirea structurii algebrice adăugate pe limita proiectivă. $\pi_i\colon X \to X_i$ $i$ $i\în eu$

Caz general

Într-o categorie arbitrară, limita proiectivă poate fi descrisă folosind proprietatea sa universală . Fie o familie de obiecte și morfisme din categoria C care îndeplinesc aceleași cerințe ca în subsecțiunea anterioară. Atunci se numește limita proiectivă a sistemului , sau , dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: $(X_{i},f_{{ij}})$ $X$ $(X_{i},f_{{ij}})$ $X=\varprojlim X_{i}$

există o familie de mapări astfel încât pentru orice ; $\pi _{i}:X\la X_{i}$ $\pi _{i}=f_{{ij}}\circ \pi _{j}$ $i\leqslant j$
pentru orice familie de mapări , un obiect arbitrar , pentru care egalitățile sunt valabile pentru orice , există o mapare unică care , pentru toți . $\psi _{i}:Y\la X_{i}$ $Y$ $\psi _{i}=f_{{ij}}\circ \psi _{j}$ $i\leqslant j$ $u:Y\la X$ $\psi _{i}=\pi _{i}\circ u$ $i\în eu$

Mai general, o limită proiectivă este o limită în sensul categoric al unui sistem . $(X_{i},f_{{ij}})$

Exemple

Numerele întregi -adice sunt limita proiectivă a unei secvențe cu mapări naturale de forma „luând restul” la . $p$ $\mathbb{Z } _{{p^{n}}}$ $\mathbb{Z } _{{p^{n}}}\to \mathbb{Z } _{{p^{m}}}$ $n\geqslant m$
Inelul seriei de puteri formale peste un inel comutativ este limita proiectivă a inelelor indexate prin numere naturale cu proiecții naturale . $\textstyle R[[t]]$ $R$ $\textstyle R[t]/t^{n}R[t]$ $\textstyle R[t]/t^{{n+j}}R[t]\la \textstyle R[t]/t^{n}R[t]$
Mulțimea Cantor este homeomorfă la limita proiectivă a produselor de mulțimi de două puncte (cu topologie discretă ) cu proiecții la primele câteva coordonate ca mapări.
Grupurile profinite sunt definite ca limitele proiective ale grupurilor finite (discrete).
În categoria spațiilor topologice, limitele proiective sunt date de topologia inițială pe mulțimea suport corespunzătoare.

Note

↑ Aleksandrov P.S., „Ann. de Matematică. „, 1928, v. 30, p. 101-87.

Literatură

McLane S. Capitolul 3. Construcții universale și limite // Categorii pentru matematicianul care lucrează = Categorii pentru matematicianul care lucrează / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Limită proiectivă - articol din Encyclopedia of Mathematics . M. Sh. Tsalenko
Jan-Erik Roos. Functori derivați ai limitelor inverse revăzuți // J. London Math. Soc .. - 2006. - T. 73 , nr 1 . - S. 65-83 . - doi : 10.1112/S0024610705022416 .