Relații Manly-Row

Relațiile Manley-Row sunt relații energetice care caracterizează interacțiunea oscilațiilor sau undelor în sisteme neliniare cu parametrii concentrați sau distribuiți. Ele au fost obținute pentru prima dată în 1956 de J. Manley și G. E. Rowe pentru oscilații într-un sistem reactiv neliniar cu parametrii concentrați și ulterior generalizate la unde în medii neliniare.

Relațiile Manley-Row sunt valabile pentru un sistem cu o conexiune neliniară reactivă arbitrară. Împreună cu legile conservării energiei și impulsului , relațiile Manley-Row determină natura interacțiunii neliniare a undelor (oscilații) și vă permit să calculați eficiența maximă a convertorului de frecvență pe neliniaritatea reactivă.

Vedere generală

În termeni generali, relațiile Manley-Row pot fi scrise după cum urmează:

\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {m\cdot P_{mn)} {m\cdot \omega _ {1}+n\cdot \omega _{2}}}=0,\ \ \ m\in \mathbb {Z}

\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cdot P_{mn)} {m\cdot \omega _ {1}+n\cdot \omega _{2}}}=0,\ \ \ n\in \mathbb {Z}

Unde

$P_{mn}$ este modificarea puterii la frecvența combinată , $m\cdot \omega _{\text{H}}+n\cdot \omega _{\text{C}}$
$\omega _{1},\omega _{2)$ sunt frecvențele oscilațiilor inițiale (unde). Mai mult decât atât, raportul trebuie să fie irațional, deoarece în caz contrar, este posibil să se exprime toate frecvențele ca armonici ale unei frecvențe fundamentale. ${\frac {\omega _{2)}{\omega _{1)}}$

Dovada [1]

Să apară sau să dispară cuantice ale frecvenței combinate pe unitatea de timp. Apoi puterea la frecvența combinată este exprimată astfel: $A_{mn}$

P_{mn}=A_{mn}\cdot \hbar \cdot (m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2}),

(*)

Deoarece energia nu apare sau nu dispare în sistem, puterea totală este zero:

\sum _{m,n}P_{mn}=\sum _{m,n}\hbar A_{mn}\cdot (m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{ 2})=0

Deoarece iraționale și sunt numere întregi, această egalitate este valabilă numai dacă ambii termeni sunt egali cu zero: ${\frac {\omega _{2)}{\omega _{1)}}$ $m,n,A_{mn)$

\sum _{m,n}m\cdot A_{mn}=\sum _{m,n}n\cdot A_{mn}=0

Exprimând din (*) și substituind în ultima expresie, obținem următoarele relații: $A_{mn}$

{\displaystyle \sum _{m,n}{\frac {m\cdot P_{mn}}{m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2}}}=\sum _{ m,n}{\frac {n\cdot P_{mn}}{m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2))))

Prima dintre relațiile Manley-Row este legea conservării numărului de cuante, care, în funcție de natura undelor care interacționează, sunt fotoni , fononi , plasmoni , magnoni sau alte cvasiparticule care interacționează .

Se pot calcula următoarele cantități:

$A_{mn}={\frac {|P_{mn}|}{\hbar \cdot (m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2})))$ este numărul de cuante de frecvență combinate;
$m\cdot A_{m,n)$ este numărul de cuante de frecvență cheltuite ( ) sau formate ( ) la excitarea frecvenței combinate; $\omega_{1}$ $P_{mn}>0$ $P_{mn}<0$
$n\cdot A_{m,n)$ este numărul de cuante de frecvență cheltuite ( ) sau formate ( ) la excitarea frecvenței combinate. $\omega _{2}$ $P_{mn}>0$ $P_{mn}<0$

Relații pentru interacțiunea cu trei frecvențe

Să luăm în considerare relațiile Manley-Row în cazul particular al interacțiunii cu trei frecvențe. Să fie, de exemplu, frecvența diferență frecvența combinată . Apoi sistemul are trei frecvențe: $\omega _{0}=\omega _{1}-\omega _{2)$