Secvență spectrală

În algebra omologică și topologia algebrică , o secvență spectrală este un mijloc de calculare a grupurilor de omologie prin aproximări succesive. De la introducerea lor de către Jean Leray , ele au devenit un instrument de calcul important, în special în topologia algebrică, geometria algebrică și algebra omologică.

Definiție formală

Fixăm o categorie abeliană, cum ar fi categoria modulelor peste un inel . Secvența spectrală constă dintr-un număr întreg nenegativ ales r 0 și un set de trei secvențe:

Pentru toate numerele întregi r ≥ r 0 , obiectele E r , numite foi,
Endomorfisme d r : E r → E r care satisfac d r o d r = 0, numite mapări ale limitelor sau diferențiale,
Izomorfisme ale lui E r+1 cu H ( E r ), omologia lui E r în raport cu d r .

De obicei, izomorfismele dintre E r +1 și H ( E r ) sunt omise, iar egalitățile sunt scrise în schimb.

Cel mai simplu exemplu este complexul de lanț C • . Obiectul C • din categoria abeliană a complexelor de lanţuri este echipat cu un diferenţial d . Fie r 0 = 0 şi E 0 C • . Atunci E 1 va fi complexul H ( C • ): al i -lea membru al acestui complex este gruparea i -a de omologie C • . Singura diferență naturală de pe acest nou complex este harta zero, așa că setăm d 1 = 0. Atunci E 2 va fi același cu E 1 și din nou singura diferență naturală este harta zero. Presupunând că diferența este zero pentru toate foile ulterioare, obținem o secvență spectrală ai cărei termeni au forma:

E 0 = C •
E r = H ( C • ) pentru toți r ≥ 1.

Termenii acestei secvențe spectrale sunt stabilizați din prima foaie, deoarece singura diferență netrivială a fost pe foaia zero. Prin urmare, nu primim informații noi în pașii următori. De obicei, pentru a obține informații utile din foile ulterioare, trebuie să aveți o structură suplimentară pe E r .

În situația negradată descrisă mai sus, r 0 nu contează, dar în practică cele mai multe secvențe spectrale apar în categoria modulelor dublu gradate peste un inel R (sau dublu gradat snopi de module peste un snop de inele). În acest caz, fiecare foaie este un modul dublu gradat și se descompune într-o sumă directă de termeni cu câte un termen pentru fiecare pereche de grade. Maparea limitelor este definită ca suma directă a mapărilor limitelor de pe fiecare membru al frunzei. Gradul lor depinde de r și se stabilește prin acord. În cazul unei secvențe spectrale omologice, termenii denotă și diferențele au bidegree (− r , r − 1). În cazul unei secvențe spectrale coomologice, termenii denotă și diferențele au bidegree ( r , 1 − r ). (Aceste alegeri de grade apar în mod natural în practică; a se vedea exemplul dublu complex de mai jos.) În funcție de secvența spectrală, harta limitelor de pe prima foaie are un bidegree corespunzător r = 0, r = 1 sau r = 2. Pentru de exemplu, pentru complexul filtrat cu secvență spectrală descris mai jos, r 0 = 0, dar pentru secvența spectrală Grothendieck r 0 = 2. $E_{p,q}^{r}$ $E_{r}^{p,q}$

Fie E r o secvență spectrală care începe, de exemplu, cu r = 0. Apoi există o secvență de subobiecte

0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2 }\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{0},

astfel încât ; Într-adevăr, credem și definim într-un asemenea mod care este nucleul și imaginea $E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1)$ $Z_{0}=E_{0},B_{0}=0$ $Z_{r}, B_{r)$ ${\displaystyle Z_{r}/B_{r-1}, B_{r}/B_{r-1))$ $E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.$

Atunci presupunem , atunci $Z_{\infty}=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r)$

E_{\infty}=Z_{\infty}/B_{\infty }

;

este numit membru limită. (Desigur, acest lucru poate să nu existe în categorie, dar de obicei aceasta nu este o problemă, deoarece, de exemplu, în categoria modulelor există astfel de limite sau pentru că secvențele spectrale cu care se lucrează în practică degenerează cel mai adesea; în secvența de mai sus există doar un număr finit de incluziuni.) $E_{\infty )$

Vizualizare

O secvență spectrală dublu gradată conține o mulțime de date, dar există o metodă de vizualizare care face mai ușor de înțeles structura secvenței spectrale. Avem trei indici, r , p și q . Să ne imaginăm că pentru fiecare r avem o coală de hârtie. Pe această foaie, lăsați p să crească în direcția orizontală și q în direcția verticală. În fiecare punct al rețelei avem un obiect . $E_{r}^{p,q}$

De obicei, n = p + q este un alt indice natural în secvența spectrală. n crește în diagonală. În cazul omologic, diferențialele au bidegree (− r , r − 1), deci scad n cu 1. În cazul coomologic, n crește cu 1. Dacă r este zero, diferența mișcă obiectele cu un pas în sus sau în jos. . Acesta este ca un diferențial într-un complex de lanț. Dacă r este unul, diferența mută obiectele cu un pas la stânga sau la dreapta. Dacă r este egal cu doi, diferența mișcă obiectele într-un mod similar cu mișcarea unui cavaler în șah. Pentru r mare , diferența acționează ca o mișcare generalizată de cavaler.

Construcții de secvențe spectrale

Secvența spectrală a complexului filtrat

Multe secvențe spectrale provin din complexe cochain filtrate. Acesta este un complex colanț C • cu o mulțime de subcomplexe F p C • , unde p este un întreg arbitrar. (În practică, p este de obicei mărginit pe o parte.) Maparea limitelor trebuie să fie consecventă cu această filtrare; adică d ( F p C n ) ⊆ F p C n+1 . Considerăm că filtrarea este descrescătoare, adică F p C • ⊇ F p+1 C • . Vom numerota termenii complexului cochain cu indicele n . Mai târziu, vom presupune, de asemenea, că filtrarea este Hausdorff sau separabilă, adică intersecția tuturor F p C • este zero și că filtrarea este exhaustivă, adică unirea tuturor F p C • este întregul colanț. complex C • .

Filtrarea este utilă deoarece oferă o măsură a proximității față de zero: pe măsură ce p crește, F p C • se apropie de zero. Vom construi o secvență spectrală din această filtrare în care colimitările și cociclurile din frunzele ulterioare se apropie din ce în ce mai mult de co-limitele și cociclurile complexului original. Această secvență spectrală va fi gradată de două ori după gradul de filtrare p și gradul complementar {{{1}}} . (Puterea complementară este adesea un indice mai convenabil decât n . De exemplu, acesta este cazul secvenței spectrale complexe binare descrise mai jos.)

Vom construi această secvență spectrală manual. C • are o singură clasificare și filtrare, așa că mai întâi construim un obiect dublu gradat din C • . Pentru a obține a doua gradare, trecem la obiectul gradat asociat cu privire la filtrare. O vom nota într-un mod neobișnuit, care va fi justificat la pasul E 1 :

Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q)

B_{0}^{p,q}=0

E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+ 1 ,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}

E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z}}E_{0}^{p,q)

Deoarece am presupus că maparea graniței este în concordanță cu filtrarea, E 0 este un obiect dublu gradat și există o mapare naturală a graniței dublu gradată d 0 pe E 0 . Pentru a obține E 1 , luăm omologia lui E 0 .

{\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0} ^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\ săgeată la dreapta F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}

{\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q -1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1} /F^{p+1}C^{p+q-1}\rightarrow F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}

{\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac ({\bar {Z}}_{1}^{p,q}}({\bar {B}}_{1}^{ p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{ {\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q))))

E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z}}E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{ \frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}

Rețineți că și poate fi descris ca imagini în ${\bar {Z}}_{1}^{p,q}$ ${\bar {B}}_{1}^{p,q}$ $E_{0}^{p,q)$

Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1} /F^{p+1}C^{p+q+1}

B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\ săgeată la dreapta C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}

si ce avem

E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1 ,q-1}}}.

$Z_{1}^{p,q)$ este exact ceea ce diferențial mișcă cu un nivel în sus la filtrare și este exact imaginea a ceea ce diferențial mișcă la zero niveluri în sus la filtrare. Acest lucru sugerează că ar trebui să definim ca ceea ce mișcă diferența r nivelează filtrarea și ca imaginea a ceea ce mișcă diferențial r-1 nivelează filtrarea. Cu alte cuvinte, secvența spectrală trebuie să satisfacă $B_{1}^{p,q)$ $Z_{r}^{p,q)$ $B_{r}^{p,q)$

Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1} /F^{p+r}C^{p+q+1}

B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1} C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}

E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p +1,q-1}}}

și trebuie să avem raportul

B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).

Pentru ca acest lucru să aibă sens, trebuie să găsim diferența d r pe fiecare E r și să verificăm dacă omologia sa este izomorfă cu E r+1 . Diferenţial

d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}

este definită ca restrângerea diferenţialului original d c la subobiect . $C^{p+q}$ $Z_{r}^{p,q)$

Este ușor de verificat că omologia lui E r față de această diferență este E r+1 , deci obținem o secvență spectrală. Din păcate, diferența nu este descrisă foarte clar. Găsirea diferenţialelor, sau modalităţi de a face fără ele, este una dintre principalele probleme care stau în calea aplicării cu succes a secvenţei spectrale.

Secvența spectrală a complexului dublu

O altă secvență spectrală frecventă este secvența spectrală a complexului dublu. Un complex dublu este o mulțime de obiecte C i, j pentru toate numerele întregi i și j , împreună cu două diferențiale, d I și d II . Prin convenție, d I reduce i și d II scade j . Mai mult, presupunem că aceste două diferențiale sunt anticomute, astfel încât d I d II + d II d I = 0. Scopul nostru este să comparăm omologiile iterate și . Facem acest lucru prin filtrarea complexului nostru dublu în două moduri. Iată filtrele noastre: $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$

(C_{i,j}^{I})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{ dacă }}i\geq p\end{cases}}

(C_{i,j}^{II})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{ dacă }}j\geq p\end{cases}}

Pentru a obține secvența spectrală, reducem situația la exemplul anterior. Definim un complex total T ( C •,• ) ca un complex al cărui termen al n-lea este acesta și a cărui diferenţială este d I + d II . Acesta este un complex, deoarece d I și d II sunt diferențiale anticomutante. Două filtrări pe C i, j induc două filtrări pe complexul total: $\bigoplus _{i+j=n}C_{i,j)$

T_{n}(C_{\bullet,\bullet})_{p}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j)

T_{n}(C_{\bullet,\bullet})_{p}^{II}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j)

Pentru a arăta că aceste secvențe spectrale oferă informații despre omologia repetată, descriem termenii E 0 , E 1 și E 2 ai filtrării I pe T ( C •,• ). Membrul E 0 este simplu:

{}^{I}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{ \bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{ i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},

unde n = p + q .

Pentru a găsi termenul E 1 , trebuie să descriem d I + d II pe E 0 . Rețineți că diferența trebuie să aibă gradul −1 în raport cu n , deci obținem maparea

d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{ n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p }^{I}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q-1}

Prin urmare, diferența de pe E 0 este harta C p , q → C p , q −1 , indusă de d I + d II . Dar d I are gradul greșit pentru a induce o astfel de mapare, așa că d I trebuie să fie zero pe E 0 . Aceasta înseamnă că diferența este exact d II , așa că obținem

{}^{I}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{II}(C_{p,\bullet }).

Pentru a găsi E 2 trebuie să definim

d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:H_{q}^{II}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{ II}(C_{p+1,\bullet })

Deoarece E 1 este exact omologia în raport cu d II , d II este zero pe E 1 . Prin urmare obținem

{}^{I}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet })).

Folosind o altă filtrare, obținem o secvență spectrală cu un termen similar E 2 :

{}^{II}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).

Rămâne de găsit o legătură între aceste secvențe spectrale. Se pare că, pe măsură ce r crește, cele două secvențe devin suficient de asemănătoare pentru a face comparații utile.

Convergență și degenerare

În exemplul elementar cu care am început, frunzele secvenței spectrale au fost constante începând de la r =1. În această situație, este logic să luăm limita unei secvențe de foi: deoarece nu se întâmplă nimic după foaia zero, foaia limită a lui E ∞ este aceeași cu E 1 .

În situații mai generale, foile de limită există adesea și sunt întotdeauna interesante. Ele sunt unul dintre cele mai importante aspecte ale secvențelor spectrale. Spunem că o secvență spectrală converge către dacă există r ( p , q ) astfel încât pentru toate r ≥ r ( p , q ) diferențele și sunt zero. De aici rezultă că va fi izomorfă pentru r mare . Aceasta se notează după cum urmează: $E_{r}^{p,q}$ $E_{\infty }^{p,q)$ $d_{r}^{pr,q+r-1}$ $d_{r}^{p,q)$ $E_{r}^{p,q}$ $E_{\infty }^{p,q)$

E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q)

Aici p indică indicele de filtrare. Termenul este adesea scris în partea stângă a convergenței , deoarece este cel mai util termen în multe secvențe spectrale. $E_{2}^{p,q)$

În cele mai multe secvențe spectrale, termenul nu este în mod natural dublu gradat. În schimb, există de obicei membri cu filtrare naturală . În aceste cazuri, presupunem . Definim convergența la fel ca înainte, dar scriem $E_{\infty )$ $E_{\infty}^{n)$ $F^{\bullet}E_{\infty}^{n)$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}E_{\infty }^{p+q}=F^{p}E_{\infty }^{ p+q}/F^{p+1}E_{\infty }^{p+q))$

E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n)

ceea ce înseamnă că atunci când p + q = n , converge către . $E_{r}^{p,q}$ $E_{\infty }^{p,q)$

Cel mai simplu caz în care putem stabili convergența este atunci când secvența spectrală degenerează. Spunem că o secvență spectrală degenerează în frunza a r-a dacă pentru orice s ≥ r diferența d s este zero. Aceasta implică că E r ≅ E r +1 ≅ E r +2 ≅ … În special, rezultă că E r este izomorfă cu E ∞ . Așa s-a întâmplat în primul exemplu banal de complex de lanțuri nefiltrate: secvența spectrală a degenerat în prima frunză. În general, dacă o secvență spectrală dublu gradată este nulă în afara unei benzi orizontale sau verticale, secvența spectrală degenerează, deoarece diferențele ulterioare intră sau vin întotdeauna dintr-un obiect din afara benzii.

O secvență spectrală converge de asemenea dacă dispare pentru toate p mai mici decât unele p 0 și pentru toate q mai mici decât unele q 0 . Dacă p 0 și q 0 pot fi aleși să fie zero, aceasta se numește secvență spectrală din primul cadran . Această secvență converge deoarece fiecare obiect se află la o distanță fixă de limita regiunii non-zero. Prin urmare, pentru p și q fix , diferența de pe foile ulterioare se mapează întotdeauna către sau de la obiectul nul. În mod similar, o secvență spectrală converge, de asemenea, dacă dispare pentru toate p mai mari decât unele p 0 și pentru toate q mai mari decât unele q 0 . $E_{r}^{p,q}$ $E_{r}^{p,q}$ $E_{r}^{p,q}$

Literatură

A. T. Fomenko, D. B. Fuks. Curs de topologie homotopie. - M. : Nauka, 1989. - 528 p.
Hatcher, Allen, Secvențe spectrale în topologia algebrică