Metoda gradientului biconjugat stabilizat

Metoda stabilizată cu gradient biconjugat (BiCGStab ) este o metodă iterativă pentru rezolvarea SLAE -urilor de tip Krylov . Dezvoltat de Van der Worst (engleză) pentru a rezolva sisteme cu matrici nesimetrice . Converge mai repede decât metoda convențională a gradientului biconjugat , care este instabilă [1] și, prin urmare, este mai frecvent utilizată [2] .

Notație

Pentru SLAE-uri complexe , metoda folosește două tipuri de produse scalare , în cazul matricelor reale și partea dreaptă acestea coincid.

$(u, v) = \sum_{i=1}^n \overline{u}_i v_i$
$[u, v] = \sum_{i=1}^n u_i v_i$

Algoritmul metodei

Pentru a rezolva SLAE de forma , unde este o matrice complexă, se poate folosi următorul algoritm [1] [3] prin metoda stabilizată a gradienților biconjugați : $ax = b$ $A$

Pregătirea înaintea procesului iterativ

Alegem o aproximare inițială $x^0$
$r^0 = b - Ax^0$
$\tilde{r} = r^0$
$\rho^0 = \alpha^0 = \omega^0 = 1$
$v^0 = p^0 = 0$

k

-a iterație a metodei

$\rho^k = (\tilde{r}, r^{k-1})$
$\beta^k = \frac{\rho^{k}}{\rho^{k-1}} \frac{\alpha^{k-1}}{\omega^{k-1}}$
$p^{k}=r^{k-1}+\beta ^{k}(p^{k-1}-\omega ^{k-1}v^{k-1})$
$v^k = Ap^k$
$\alpha^k = \frac{\rho^k}{(\tilde{r}, v^k)}$
$s^{k}=r^{k-1}-\alpha ^{k}v^{k)$
$t^k = A s^k$
$\omega^k = \frac{[t^k, s^k]} {[t^k, t^k]}$
$x^k = x^{k-1} + \omega^ks^k + \alpha^kp^k$
$r^k = s^k - \omega^kt^k$

Criteriu pentru oprirea procesului iterativ

Pe lângă criteriile tradiționale de oprire, cum ar fi numărul de iterații ( ) și reziduul specificat ( ), metoda poate fi oprită și atunci când valoarea a devenit mai mică decât un număr predeterminat . $k \le k_{max}$ $\||r^k|| /||b|| < \varepsilon$ $|\omega^k|$ $\varepsilon_{\omega}$

Vezi și

Metoda gradientului conjugat

Note

↑ 1 2 Henk A. van der Vorst. Metode Krylov iterative pentru sisteme liniare mari. - Cambridge University Press, 2003. - 221 p. — ISBN 9780521818285 .
↑ T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk. Rezolvarea ecuațiilor lui Maxwell folosind formularea variațională ultra slabă . — 2006.
↑ A. Formmer , V. Hannemann , B. Nokel , Th. Lippert , K. Schilling. Accelerarea invaziei matricei Wilson Fermion prin intermediul agoritmului biconjugat Cgadient Stibilizat . — 1994.

Metode de rezolvare a SLAE
Metode directe	Metoda matricei metoda Gauss Metoda Gauss-Iordan Metoda Cramer descompunerea LU Descompunerea Cholesky Metoda de măturare
Metode iterative	metoda Jacobi Metoda Gauss-Seidel Metoda iterației Metoda de relaxare Metoda gradientului conjugat Metoda gradientului biconjugat Metoda gradientului biconjugat stabilizat
General	matrice inversă Metode de proiecție pentru rezolvarea SLAE Precondiționare