Metrica izotropă statică

O metrică izotropă statică este o metrică care definește un câmp gravitațional izotrop static . Un caz special al acestei metrici este metrica Schwarzschild , pentru cazul unui spațiu-timp gol (plin cu nimic) [1] .

Definiție

Cuvintele static și izotrop înseamnă următoarele: se poate găsi întotdeauna o mulțime de coordonate apropiate de coordonatele Minkowski , astfel încât timpul propriu invariant să nu depindă de , ci să depindă numai prin invarianții grupului de rotație: . Cea mai generală formă de înregistrare a unui interval: $x^{1},x^{2},x^{3},x^{0}=t$ $d\tau ^{2}=-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu )$ $t$ $\mathbf {x} ,\mathbf {dx}$ $\mathbf {x^{2}} ,\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} ,\mathbf {dx^{2}}$ $d\tau ^{2}=F(r)dt^{2}-2E(r)dt\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} -D(r)(\mathbf {x} \ cdot \mathbf {dx} )^{2}-C(r)\mathbf {dx^{2}} ,$

unde sunt funcții necunoscute ale mărimii $F,E,C,D$ $r\equiv (\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )^{1/2)$

Reducere la forma standard

Este avantajos să se înlocuiască cu coordonatele polare sferice : $\mathbf {x}$ $r,\theta,\phi$

x^{1}=r\sin \theta \cos \varphi \,;

x^{2}=r\sin \theta \sin \varphi \,;

x^{3}=r\cos \varphi \,.

Intervalul în acest caz va lua forma:

d\tau ^{2}=F(r)dt^{2}-2rE(r)dtdr-r^{2}D(r)dr^{2}-C(r)(dr^{{2} 2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})

Ne putem seta ceasul pentru a determina noua coordonată de timp

t'\equiv t+\Phi (r)

unde este o funcție arbitrară a . Acest lucru ne permite să eliminăm elementul off-diagonal prin setare $\Phi (r)$ $r$ $g_{tr)$

{\frac {d\Phi {dr}}=-{\frac {rE(r)}{F(r)))

Atunci intervalul se exprimă după cum urmează:

d\tau ^{2}=F(r)dt'^{2}-r^{2}G(r)dr^{2}-C(r)(dr^{2}+r^ {2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})

G(r)\equiv r^{2}\left(D(r)+{\frac {E^{2}(r)}{F(r)))\right)

Putem redefini raza și, prin urmare, impunem o altă condiție funcțiilor , de exemplu, după cum urmează . Apoi obținem așa-numita formă standard pentru metrica izotropă statică: $r$ $F,G,C$ $r'\equiv r^{2}C(r)$

d\tau ^{2}=B(r')dt'^{2}-A(r')dr'^{2}-r'^{2}(d\theta ^{2}+ \sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})

Unde

B(r)\equiv F(r')

A(r)\equiv \left(1+{\frac {G(r)}{C(r)}}\right)\left(1+{\frac {r}{2C(r)} }{\frac {dC(r)}{dr}}\dreapta)^{-2}.

După ultima transformare , tensorul metric are următoarele componente diferite de zero:

g_{rr}=A(r)

g_{\theta \theta}=r^{2)

g_{\phi \phi }=r^{2}sin^{2}\theta

g_{tt}=-B(r)

Unde funcțiile i trebuie determinate prin rezolvarea ecuațiilor câmpului. Deoarece este un tensor diagonal, este ușor să scrieți componentele diferite de zero ale tensorului invers față de acesta: $A(r)$ $B(r)$ $g_{\mu \nu )$

g^{rr}=A^{-1}(r)

g^{\theta \theta}=r^{-2)

g^{\phi \phi}=r^{-2}sin^{-2}\theta

g^{tt}=-B^{-1}(r)

Simbolurile Christoffel și tensorul Ricci

Conexiunea afină poate fi calculată folosind formula obișnuită:

\Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}\,g^{sk}\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki }-\partial _{k}g_{ij}\right)

Componentele sale diferite de zero se dovedesc a fi egale:

\Gamma _{rr}^{r}={\frac {1}{2A(r))}{\frac {dA(r)}{dx))

\Gamma _{\phi \phi }^{r}=-{\frac {rsin^{2}\theta {A(r))}

\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }={\frac {1}{r)}

\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }={\frac {1}{r)}

\Gamma _{\theta \theta}^{r}=-{\frac {r}{A(r)))

\Gamma _{tt}^{r}={\frac {1}{2A(r))}{\frac {dB(r)}{dx))

\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }=-sin\theta cos\theta

\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=ctg\theta

\Gamma _{tr}^{t}=\Gamma _{rt}^{t}={\frac {1}{2B(r))}{\frac {dB(r)}{dx} }

De asemenea, calculăm tensorul Ricci. Este dat de expresia

R_{\sigma \nu }={R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }={\partial _{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}-\partial _{\nu }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{ \lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \sigma }^{\lambda }.

Înlocuind componentele obținute anterior ale conexiunii afine, obținem:

R_{rr}={\frac {B''(r)}{2B(r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {B'(r)}{B( r)))\left({\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\dreapta)-{\frac { 1}{r}}{\frac {A'(r)}{A(r)))

R_{\theta \theta}=-1+{\frac {r}{2A(r)}}\left(-{\frac {A'(r)}{A(r)))+{ \frac {B'(r)}{B(r)}}\right)+{\frac {1}{A(r)}}

R_{\phi \phi}=sin^{2}\theta R_{\theta \theta }

R_{tt}={\frac {B''(r)}{2A(r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {B'(r)}{A( r)))\left({\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\dreapta)-{\frac { 1}{r}}{\frac {B'(r)}{A(r)))

(Primul înseamnă acum diferențiere în raport cu ). Datorită invarianței metricii sub rotații, componentele , , , , sunt identic egale cu zero și . Egalitatea la zero se datorează faptului că ne-am setat ceasul astfel încât metrica sa dovedit a fi invariabilă în timpul inversării timpului . $r$ $R_{\theta r}$ $R_{\theta \phi )$ $R_{\phi r}$ $R_{\phi t)$ $R_{\theta t)$ $R_{\phi \phi}=sin^{2}R_{\theta \theta )$ $R_{tr)$ $t\leftrightarrow -t$

Note

↑ Weinberg S. Gravity and Cosmology. — M.: Mir, 1975.