Kloosterman sume

Sume Kloosterman - subiect de studiu al teoriei numerelor analitice , sume trigonometrice peste elemente ale inelului de reziduuri , reciproce în modul elementelor unei mulțimi cu o structură naturală (de obicei un interval sau numere prime dintr-un interval).

Primele estimări ale sumelor au fost obținute de Kloosterman în 1926 în legătură cu studiul numărului de reprezentări ale numerelor în formă . [unu] $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2}$

Definiție

Fie un întreg arbitrar și să fie introdusă notația pentru coprimul cu . Atunci pentru suma totală Kloosterman este o sumă a formei $q\geq 3$ $n\in {\mathbb {F} }_{q)$ $q$ $n{\overline {n}}\equiv 1{\pmod {q}}$ $a,b\in {\mathbb {F} }_{q)$

S(q;a,b):=\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq q-1}{(n,q)=1}}{e_{q}\left( {a{\overline {n}}+bn}\right)}\ .

O sumă incompletă se numește sumă pe un anumit interval . [2] ${\displaystyle \sum \limits _{n=M+1}^{M+N}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)))$

Uneori sume peste numere prime [3] , sume multiliniare care implică elemente inverse [4] și alte sume de forma , unde . ${\displaystyle \sum \limits _{n\in A}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)))$ $A\subset {\mathbb {F} }_{q)$

Pentru dat , sumele Kloosterman sunt de obicei estimate pentru arbitrare , inclusiv . $q$ $a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q)$ $S(q)=\max \limits _{a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}}{S(q;a,b))$

Proprietăți

La , totalul sumelor Kloosterman degenerează într- o sumă Ramanujan . $a=0$

Dacă , atunci , așa întrebarea de estimare se reduce la caz . $(q_{1},q_{2})=1$ $S(q)=S(q_{1})S(q_{2})$ $S(q)$ $q=p^{n}$

Evaluări

$|S(q)|\leq \tau (q){\sqrt {q))$ , unde este numărul de divizori . De aici rezultă că pentru orice . [5] $\tau (q)$ $\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq x}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn} \right)}\leq \tau (q){\sqrt {q}}(\log q+1)$ $x<q$

Pentru sumele de acest din urmă tip pentru , sunt cunoscute și alte estimări care nu sunt banale pentru . [6] $q=p,\b=0$ $x\geq \exp \left({\Omega ((\log p)^{2/3}(\log \log p)^{2})}\right)$

Note

↑ Kloosterman, 1926 .
↑ Korolev (1), 2016 , p. 80.
↑ Baker, 2012 .
↑ Burgain, Garaev, 2014 .
↑ Korolev (1), 2016 , formula (1) și teorema 3
↑ Burgain, Garaev, 2014 , teorema 16; vezi, de asemenea, o revizuire a rezultatelor similare în Korolev (2), 2016 , p. 838–839

Literatură

HD Kloosterman. Despre reprezentarea numerelor în forma $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2}$ (engleză) // Acta Math .. - 1926. - Vol. 49 , iss. 1 . — P. 407–464 .

M. A. Korolev. Metode de estimare a sumelor scurte ale colecției Kloosterman // Chebyshevsky. - 2016. - T. 17 , nr. 4 . — p. 79–109 . (Rusă)

M. A. Korolev. Pe scurte sume Kloosterman modulo a prim // Note matematice . - 2016. - T. 100 , nr. 6 . — S. 838–846 . (Rusă)

J. Bourgain, M. Z. Garaev. Suma mulțimilor formate din elemente inverse în câmpuri de ordin prim și sume Kloosterman multiliniare // Izvestiya RAN. - 2014. - T. 78 , nr. 4 . — S. 19–72 . - arXiv : 1211.4184 . (Rusă)

R. C. Baker. Sume Kloosterman cu variabilă primă (engleză) // Acta Arithmetica. - 2012. - Vol. 156 . — P. 351–372 .