Sume Ramanujan

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 martie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Sumele Ramanujan sunt sume trigonometrice în funcție de doi parametri întregi și , de forma: $k$ $n$

c_{k}(n)=\sum _{h}\cos \left({\frac {2\pi nh}{k))\right)=\sum _{h}\exp \left( {\frac {2\pi nhi}{k}}\dreapta),

unde si . $h<k,\;h\in \mathbb {Z} _{0)$ $(h,\;k)=1$

Principala proprietate a sumelor Ramanujan este multiplicativitatea lor în raport cu indicele , i.e. $k$

c_{kk'}(n)=c_{k}(n)c_{k'}(n),

daca . $(k,\;k')=1$

Sumele pot fi reprezentate în termenii funcției Möbius : $c_{k}(n)$ $\mu$

c_{k}(n)=\sum _{d\setminus (k,\;n)}\mu \left({\frac {k}{d))\right)d.

Sumele Ramanujan sunt mărginite pentru mărginit fie , fie . Deci, de exemplu, . $k$ $n$ $c_{k}(1)=1$

Aplicarea sumelor Ramanujan

Multe funcții multiplicative ale unui argument natural pot fi extinse în serii în . Este adevărat și invers. $c_{k}(n)$

Principalele proprietăți ale sumelor vă permit să calculați sume de forma:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{n^{s))}f(n),\quad \sum _{k=1 }^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s))}f(k),

unde este o funcție multiplicativă , este un număr întreg , este în general complexă. $f(n)$ $q$ $s$

În cel mai simplu caz, se poate obține

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s))}={\frac {\sigma _{1-s}( n)}{\zeta (s)))),

unde este funcția zeta Riemann , este suma puterilor-lea ale divizorilor numărului . $\zeta (s)$ $\sigma _{k}(n)$ $k$ $n$

Astfel de sume sunt strâns legate de serii speciale de unele probleme aditive din teoria numerelor , cum ar fi reprezentarea numerelor naturale ca un număr par de pătrate. În [1], sunt date multe formule care conțin aceste sume.

Literatură

Ramanujan S. Tranzacții ale Societății Filozofice Cambridge. - 1918. - v. 22.-p. 259-276.
Hardy GH Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20.- p. 263-271.
Ramanujan S. Lucrări adunate. - Cambridge, 1927. - p. 137-141.
Volkmann B. Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1974. - Bd 271. - S. 203-213.
Titchmarsh, E. K. Teoria funcției zeta Riemann. - Cherepovets: Mercury-Press, 2000. - 407 p. — ISBN 5114800906 . .
Levin V. I. Cercetări istorice şi matematice . - vol. 13. - M .: VINITI , 1960.