Suma trigonometrică

O sumă trigonometrică este o sumă finită de numere complexe , corespunzând geometric vectorilor de pe cercul unitar , adică de forma $e(\varphi):=\cos \varphi +i\sin \varphi \.$

Astfel de sume peste valori formate dintr-un set de numere sau elemente ale unui grup sunt studiate în teoria analitică a numerelor . Limitele superioare ale acestora ne permit să estimăm numărul de soluții ale ecuațiilor cu variabile din mulțimile luate în considerare. $\varphi$

Proprietățile geometrice ale sinusurilor și cosinusurilor din definiție nu joacă un rol cheie în metodă. Formula lui Euler $e(\varphi )$

e(\varphi)=e^{2\pi \varphi i)

vă permite să interpretați termenii ca puteri unul celuilalt și să utilizați proprietățile exponențiației și progresiilor geometrice pentru a evalua sumele .

Când este rațional , termenul este rădăcina unității . În literatura modernă, denumirea $\varphi$

e_{q}(a):=e\left({\frac {a}{q}}\right)=e^{2\pi {\frac {a}{q}}i}\ .

Sumele cu astfel de termeni sunt folosite pentru a studia seturile de valori modul $q$ . Sunt cele mai populare.

Metoda sumelor trigonometrice este una dintre cele mai puternice și în curs de dezvoltare din teoria numerelor moderne. Doar unele tipuri de sume au fost studiate suficient de bine pentru ca rezultatele despre acestea să fie clasificate și nivelul de cunoștințe să fie considerat bine stabilit. Pentru aplicații în teoria numerelor, estimări foarte slabe, dar netriviale ale uneia sau altei sume trigonometrice sunt suficiente. Adesea, astfel de evaluări sunt studiate pur și simplu pe cont propriu, având în vedere importanța general recunoscută a dezvoltării unor metode pentru studierea lor.

Proprietăți de bază

Prin sume trigonometrice, afirmațiile despre egalitatea la zero pot fi exprimate:

pentru orice este adevărat că [1] ; $m\in {\mathbb {N} },\ a\in {\mathbb {Z} }$ $\sum \limits _{x=0}^{m-1}{e_{m}(ax)}={\begin{cases}m,&a\equiv 0{\pmod {m}}\\ 0,&a\nu \equiv 0{\pmod {m}}\end{cases}}$

la fel, pentru orice este adevărat că [2] . $n\in {\mathbb {Z} }$ $\int \limits _{0}^{1}{e(\alpha n)d\alpha }={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\not =0\end{ cazuri}}$

Folosind structura generală a grupurilor abeliene , se pot obține expresii similare pentru orice astfel de grup în loc de și . ${\mathbb {Z} }_{m)$ ${\mathbb {Z} }$

Atunci când se calculează estimări, se folosesc adesea considerații care:

produsul și conjugarea (și, prin urmare, chiar și puterile modulelor [3] ) a sumelor trigonometrice va fi, de asemenea, o sumă trigonometrică - prin înmulțirea sumelor, gruparea termenilor în moduri diferite și aplicarea inegalității lui Hölder , puteți trece de la o mulțime sau ecuație la alta, rezolvarea aceleiași probleme;

pentru orice , [4] estimarea trivială este adevărată . $\varphi _{1},\dots,\varphi _{n)$ ${\Bigg \vert }{\sum \limits _{i=1}^{n}e(\varphi _{i})}{\Bigg \vert }\leq n$

Aplicații

Numărul de soluții ale ecuațiilor

Expresie

Pentru mulțimi și funcții, numărul de soluții ale ecuației $A_{1},\dots, A_{k)$ $f:A_{1}\times \dots \times A_{k}\to {\mathbb {Z} }_{m)$

f(x_{1},\dots,x_{k})\equiv 0{\pmod {m)),\ x_{1}\in A_{1},\dots,x_{k}\in A_{k}

poate fi exprimat în termeni de sumă trigonometrică ca sumă a parantezelor Iverson :

\sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots,x_{k}\in A_{k}}{[f(x_{1},\dots,x_{k} )\equiv 0{\pmod {m}}]}={\frac {1}{m}}\sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}}\sum \limits _{t=0}^{m-1}{e_{m}(tf(x_{1},\dots ,x_{k}))}\ .

În mod similar, pentru întreg și soluții , reprezentarea $f$ $f(x_{1},\dots,x_{k})=0$

\sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots,x_{k}\in A_{k}}{[f(x_{1},\dots,x_{k} )=0]}=\sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}}\int \limits _{0}^{1}e (\alpha f(x_{1},\dots ,x_{k}))d\alpha \ .

Aceste construcții sunt ușor de generalizat la sisteme de ecuații [5] .

Formula pentru reprezentarea unui număr ca sumă poate acționa și ca o ecuație - un obiect tipic de studiu al teoriei numerelor aditive [6] .

Utilizare

Expresiile trigonometrice sunt cele mai utile atunci când funcția este bine factorizată. De exemplu, dacă $f$

f(x_{1},\dots,x_{k})=f_{1}(x_{1})+\dots +f_{k}(x_{k})\,

apoi, prin schimbarea ordinii însumării, putem obține expresia

\sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}}\sum \limits _{t=0}^{m-1} {e_{m}(t(f_{1}(x_{1})+\dots f_{k}(x_{k})))}=\sum \limits _{t=0}^{m-1 }\prod \limits _{i=1}^{k}\left(\sum \limits _{x_{i}\in A_{i}}{e_{m}(tf_{i}(x_{i} ))}\right)\leq \sum \limits _{t=0}^{m-1}\prod \limits _{i=1}^{k}{\Bigg \vert }\sum \limits _{ x_{i}\in A_{i}}{e_{m}(tf_{i}(x_{i}))}{\Bigg \vert }\ .

Sumele luate separat unele de altele nu au o interpretare combinatorie, dar pot fi estimate analitic. Aceasta este ceea ce face ca metoda sumelor trigonometrice să fie netrivială. ${\displaystyle \sum \limits _{x_{i}\in A_{i}}{e_{m}(tf_{i}(x_{i}})))$

Căci , toți termenii degenerează în , deci această parte a sumei este întotdeauna egală și se numește termenul principal . Prin urmare, estimările pentru numărul de soluții în termeni de sume trigonometrice de cele mai multe ori nu pot fi mai bune decât . În special, tocmai o astfel de cantitate este necesară în demonstrarea distribuției uniforme . Când se lucrează cu integrale, rolul termenului principal între interval este îndeplinit de vecinătatea fracțiilor ireductibile cu numitori mici [7] . $t=0$ $e(0)=1$ $|A_{1}|\dots |A_{k}|$ ${\frac {|A_{1}|\dots |A_{k}|}{m))$ $[0;1]$

Nuanțe

Trebuie remarcate două nuanțe despre legătura dintre ecuații și sumele trigonometrice. În primul rând, uneori este convenabil să treceți nu de la ecuație la sume, ci invers, în cursul estimării sumei după transformările acesteia, treceți la analiza unei ecuații simple sau cunoscute [8] . În al doilea rând, transformările pur combinatorii ale ecuațiilor pot fi exprimate în limbajul sumelor trigonometrice. Prin urmare, în literatura dedicată sumelor trigonometrice, aceste transformări sunt adesea enunțate în acest fel, fără a menționa că același lucru se poate face elementar [9] . Cu toate acestea, există multe cazuri în care o transcriere elementară directă nu este posibilă.

Distribuție uniformă

Pentru orice interval din inelul de reziduuri , se poate estima suma trigonometrică asociată $I=\{M,M+1,\dots, N-1,N\}$ ${\mathbb {Z} }_{m)$

\sum \limits _{a=1}^{m}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{x\in I}{e_{m}(ax))}{\Bigg \ vert }}\leq m\ln m

Datorită acestui fapt, estimarea sumelor trigonometrice peste mulțimea din poate fi transformată în afirmația despre distribuția sa uniformă în [10] : ${\mathbb {Z} }_{m)$ ${\mathbb {Z} }_{m)$

Dacă estimarea este adevărată pentru o mulțime și orice , atunci pentru oricare se poate demonstra că $A\subset {\mathbb {Z} }_{m)$ $t\in {\mathbb {Z} }_{m}\setminus \{0\)$ ${\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{m}(ta))){\Bigg \vert }=o\left({\frac {|A|} {\log m}}\dreapta)$ $0\leq \delta _{1}<\delta _{2}\leq 1$ $|A\cap [\delta _{1}m;\delta _{2}m]|=(\delta _{2}-\delta _{1}+o(1))|A|$

Cel mai adesea, este convenabil să obțineți rezultate similare pentru un simplu . Estimările unor astfel de sume sunt cunoscute pentru reziduuri pătratice [11] , alte puteri [12] , indici (logaritmi discreti) ai numerelor din intervalul [13] , inverse pentru intervalul [14] , și chiar pentru un subgrup multiplicativ arbitrar de mărime (pentru orice fix ) [15 ] . O metodă similară poate fi folosită pentru a demonstra distribuția uniformă a secvențelor reale în intervalul . $m$ $p^{\varepsilon )$ $\varepsilon >0$ $(0;1)$

Prin analogie cu aceasta, sumele caracterelor multiplicative pot fi luate ca un indicator al uniformității în ceea ce privește structura grupului multiplicativ . Astfel de sume sunt bine studiate pentru intervale, setul de valori ale polinoamelor și deplasările primelor [16] . ${\mathbb {F} }_{p)$

Istorie

Prima utilizare a sumelor trigonometrice este atribuită studiului lui Gauss asupra legii reciprocității pătratice (1795 [17] ). El a estimat sume cu reziduuri pătratice , adică de forma [18] . Dirichlet a aplicat curând sume de caractere cu coeficienți la studiul distribuției numerelor prime în progresii aritmetice [19] . $\sum \limits _{x=1}^{p}{e_{p}(ax^{2})},\a\in {\mathbb {Z} }_{p)$

La sfârșitul secolului al XIX-lea și începutul secolului al XX-lea, sumele trigonometrice au început să fie folosite pentru a studia distribuția secvențelor [20] [21] .

Un eveniment semnificativ a fost aplicarea sumelor trigonometrice la rezolvarea problemei lui Waring în două moduri: metoda circulară a lui Hardy-Littlewood și metoda lui I. M. Vinogradov , care a regândit-o [22] . Vinogradov și-a dezvoltat ulterior metoda de obținere a rezultatelor pe numere prime, inclusiv rezolvarea problemei ternare a lui Goldbach pentru numere suficient de mari [23] și un analog al problemei lui Waring pentru numere prime [24] .

Klaus Roth și mai târziu William Timothy Gowers au folosit tehnica round-robin pentru a demonstra teorema lui Szemeredy [25] . Ulterior, sumele trigonometrice au fost folosite în multe probleme de combinatorie aditivă [26] .

Sume cu nume proprii

Sume Ramanujan pentru : $a\in {\mathbb {Z} }_{q},\ (a,q)=1$

\sum \limits _{1\leq x\leq q \atop (x,q)=1}{e_{q}(ax))

Sumele Gauss : $a\in {\mathbb {Z} }_{q)$

{\displaystyle \sum \limits _{x=1}^{q}{e_{q}(ax^{2)))))

Sumele Weil pentru un polinom cu coeficienți reali (nu întregi) și un interval : $f$ $[a;b]$

\sum \limits _{a\leq n\leq b}{e(f(n)))

Sume Kloosterman asociate cu inverse , unde . De exemplu, pentru : $x^{{-1}}$ $x\in {\mathbb {Z} }_{p},\xx^{-1}\equiv 1{\pmod {p)}$ $a,b\in {\mathbb {Z} }_{q)$

\sum \limits _{1\leq x\leq q \atop (x,q)=1}{e(ax+bx^{-1))))

transformată Fourier discretă [27] pentru funcția indicator a mulțimii : $A\subset {\mathbb {Z} }_{m},\t\in {\mathbb {Z} }_{m)$

{\widehat {A}}(t)=\sum \limits _{a\in A}{e_{m}(la))

sume multiliniare [28] pentru mulțimi : $A_{1},\dots,A_{k}\subset {\mathbb {Z} }_{m)$

\sum \limits _{a_{1}\in A_{1}}\dots \sum \limits _{a_{k}\in A_{k}}{e_{m}(a_{1}\ puncte a_{k})}

sumele caracterelor multiplicative [29] peste mulțime (funcția înseamnă logaritmul discret , iar parametrul corespunde caracterului ales): $A\subset {\mathbb {F} }_{p}^{*}$ ${\rm {ind)}$ $t\in {\mathbb {Z} }_{p)$

\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(t\cdot {\rm {ind}}(a))}\ ,

Generalizări

Când se studiază grupurile necomutative , caracterele reprezentărilor pot fi folosite pentru a defini analogi ai coeficienților Fourier [30] .

Literatură

I. M. Vinogradov. Metoda sumelor trigonometrice în teoria numerelor. — M .: Nauka, 1971. — 158 p. - 7500 de exemplare.

K. Chandrasekharan. Introducere în teoria analitică a numerelor. — M .: Mir, 1974. — 185 p.

A, A. Karatsuba. Fundamentele teoriei analitice a numerelor. - M. : Nauka, 1983. - 240 p.

B. I. Segal. Sume trigonometrice și unele dintre aplicațiile lor la teoria numerelor // Progrese în științe matematice . - 1946. - T. 1 , nr. 3–4 . — S. 147–193 . (Rusă)

A. A. Karatsuba. Probleme aritmetice ale teoriei caracterelor lui Dirichlet // Advances in Mathematical Sciences . - 2008. - T. 63 , nr. 4 . — p. 43–92 . (Rusă)

M. A. Korolev. Metode de estimare a sumelor scurte ale colecției Kloosterman // Chebyshevsky. - 2016. - T. 17 , nr. 4 . — p. 79–109 . (Rusă)

M. Z. Garaev. Sume și produse ale mulțimilor și estimări ale sumelor trigonometrice raționale în câmpuri de ordin prim // Uspekhi matematicheskikh nauk . - 2010. - T. 65 , nr. 4 (394) . - S. 5-66 . doi : 10.4213 / rm9367 . (Rusă)

I. D. Shkredov. Analiza Fourier în teoria numerelor combinatorii // Progrese în științe matematice. - 2010. - Emisiune. 3 . - S. 127-184 . (Rusă)

WT Gowers. O nouă dovadă a teoremei lui Szemerédi // Analiza geometrică și funcțională GAFA. - 2001. - Vol. 11 . — P. 465–588 . - doi : 10.1007/s00039-001-0332-9 .

I. D. Shkredov. Pe un analog bidimensional al teoremei Szemeredy în grupuri abeliene // Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Serii matematice. - 2009. - T. 73 , nr. 5 . — S. 181–224 . (Rusă)

J. Bourgain. Sume exponențiale multiliniare în câmpuri prime în condiții optime de entropie pe surse // Analiză geometrică și funcțională. - 2009. - Vol. 18 . - P. 1477-1502 . - doi : 10.1007/s00039-008-0691-6 .

NG Moshchevitin, ID Shkredov. Pe o formă modulară a conjecturii lui Zaremba . - 2019. - arXiv : 1911.07487 .

Note

↑ În cazul în care, pentru a dovedi, este suficient să înmulțiți suma cu (valoarea nu se va modifica). Vezi şi Segal, 1946 , p. formula 149 (2) $m\nu \mid a$ $e_{m}(a)$
↑ Segal, 1946 , p. 173, § 35
↑ Deoarece pentru orice $|x|^{2}=x{\overline {x}}$ $x\in {\mathbb {C} }$
↑ Prin inegalitatea triunghiului pentru planul complex
↑ Vezi, de exemplu, Karatsuba, 1983 , p. 84, Lema 1.a
↑ Vezi Segal, 1946 , p. 181, formula (61), precum și Karatsuba, 1983 , p. formula 157 (1)
↑ Karatsuba, 1983 , p. 158.
↑ Vezi, de exemplu, tranziția la Korolev, 2016 la sfârșitul p. 81 sau în același loc la trecerea la ecuația (4) de la p. 87, sau Garaev, 2010 , p. 59-61
↑ De exemplu, în Karatsuba, 1983 Lema 4.b la p. 84 se justifică prin exprimarea numărului de soluții prin integrala sumelor trigonometrice, deși același rezultat poate fi obținut prin aplicarea inegalității de permutare la mulțimea numerelor . $a_{s_{1},\dots,s_{n}}=\#\{(x_{1},\dots,x_{k}):\forall j\leq n:x_{1}^ {j}+\dots +x_{k}^{j}=s_{j}\}$
↑ Vezi Segal, 1946 , p. 152-153. Dovada constă în aplicarea tehnicii generale de analiză a ecuațiilor la expresia . A se vedea, de asemenea, abordarea generală a comparației în Garaev, 2010 , p. 7, Lema 1.1. $ax\equiv 0{\pmod {m)),\a\in A,x\in I$
↑ Segal, 1946 , p. 151.
↑ Segal, 1946 , p. 159-160 (§ 17)
↑ Segal, 1946 , p. 158-159 (§ 16)
↑ Korolev, 2016 , teorema 3
↑ Bourgain, 2009 , continuare la p. 1478; vezi, de asemenea, o trecere în revistă a acestei dovezi în Garaev, 2010 , p. 39-47
↑ Karatsuba, 2008 , p. 49-50.
↑ Chandrasekharan, 1974 , p. 179, a se vedea nota la capitolul V, § 1
↑ Ulterior, rezultate similare au fost obținute pentru alte puteri și chiar polinoame. Vezi Vinogradov, 1971 , p. 5-8
↑ Chandrasekharan, 1974 , p. 182, a se vedea nota la capitolul X, § 5
↑ Chandrasekharan, 1974 , p. 120-130.181.
↑ Segal, 1946 , p. 151-153.
↑ Segal, 1946 , p. 178.
↑ Karatsuba, 1983 , vezi declarația finală la p. 172
↑ Vinogradov, 1971 , capitolul 9
↑ Vezi demonstrația lui Roth în Shkredov, 2010 , p. 134,139-142, o revizuire a metodei lui Gowers ibid., în secțiunea 4, de asemenea, Gowers, 2001
↑ Shkredov, 2010 .
↑ Gowers, 2001 , p. 470-471; vezi, de asemenea, generalizarea pentru grupuri abeliene arbitrare în Shkredov, 2009 , p. 184.187
↑ Vezi Bourgain, 2009 , Teorema B
↑ Karatsuba, 2008 , p. 45, formula (3)
↑ Moshchevitin, Shkredov, 2019 , secțiunea 3