Convergența în Lp

Convergența în $L^{p}$ analiza funcțională , teoria probabilității și disciplinele conexe este un tip de convergență a funcțiilor măsurabile sau a variabilelor aleatoare .

Definiție

Fie un spațiu cu măsură . Atunci spațiul funcțiilor măsurabile astfel încât puterea lor, unde , este Lebesgue integrabilă , este metric . Metrica din acest spațiu are forma: $(X,\mathcal{F},\mu)$ $L^p\equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ $p$ $p\geqslant 1$

d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \right )^{1/p}

Să fie dată o secvență . Apoi spunem că această secvență converge în funcție dacă converge în metrica definită mai sus, i.e. $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$ $L^{p}$ $f \in L^p$

\lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0

Scrie: . Uneori folosesc și denumirea - din engleză. Engleză limită în medie . $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f(x)=\mathop{\mathrm{lim}}_{n\la\infty} f_n(x)$

În ceea ce privește teoria probabilității, o secvență de variabile aleatoare converge către din același spațiu dacă $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ $X$

\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0

Scrie: . $X_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} X$

Terminologie

Convergența în spațiu se numește convergență medie. $L^1$
Convergența în spațiu se numește convergență rms. $L^{2}$

Proprietăți de convergență în $L^{p}$

Unicitatea limitei. Dacă și , atunci - aproape peste tot ( - aproape sigur ). $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} g$ $f = g$ $\mu$ $\mathbb {P}$

Spatiul este plin . Dacă pentru , atunci există astfel încât . $L^{p}$ $\|f_n-f_m\|_p \la 0$ $\min(n,m) \to \infty$ $f \in L^p$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$

Convergența în implică convergența în măsură ( în probabilitate ). Dacă , atunci . $L^{p}$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$