Analiza tensorilor

Analiza tensorială este o generalizare a analizei vectoriale , o secțiune a calculului tensorial care studiază operatorii diferențiali care acționează asupra algebrei câmpurilor tensorale ale unei varietăți diferențiabile . De asemenea, luăm în considerare operatori care acționează asupra obiectelor geometrice mai generale decât câmpurile tensorale: densități tensorale, forme diferențiale cu valori într-un pachet vectorial. $D(M)$ $M$

De cel mai mare interes sunt operatorii a căror acțiune nu conduce în afara algebrei , printre aceștia se numără derivata covariantă , derivata Lie , derivata exterioară , tensorul de curbură al unui tensor nedegenerat, dublu covariant. . $D(M)$

Derivată covariantă

Derivata covariantă de-a lungul unui câmp vectorial este o mapare liniară a spațiului câmpurilor vectoriale ale varietății , în funcție de câmpul vectorial și îndeplinind condițiile: $X$ $\nabla _{X}$ $D^{1}(M)$ $M$ $X$

\nabla _{f}X+{}_{{gV}}Z=f\nabla _{X}Z,

\nabla _{X}(fZ)=f\nabla _{X}Z+(Xf)Y,

unde , , , , sunt funcții netede pe . Conexiunea și translația paralelă definite de acest operator ne permit să extindem acțiunea derivatei covariante la o mapare liniară a algebrei în sine; în plus, maparea este o diferențiere, păstrează tipul câmpului tensor și permută cu convoluția. $X$ $Y$ $Z\în D'(M)$ $f$ $g$ $M$ $\Gamma$ $D(M)$ $\nabla X$

În coordonate locale, derivata covariantă a unui tensor cu componente în raport cu un vector este definită ca: $u^{1},\;u^{2},\;\ldots ,\;u^{n}$ $T\left(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$ $X=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i))}$

\nabla _{X}T=\xi ^{s}\left({\frac {\partial T_{{j_{1}\ldots m}}^{{i_{1}\ldots i_{l}}} }{\partial u^{s}}}+\Gamma _{{k_{s}}}^{{i_{1}}}T_{{j_{1}\ldots j_{m}}}^{{ k\ldots i_{l}}}+\ldots -\Gamma _{{j_{{i,s}}}}^{k}T_{{k\ldots j_{m}}}^{{i_{1 }\ldots i_{l}}}}\dreapta),

\Gamma _{{ks}}^{i}

este un obiect de conexiune .

\Gamma

Lie derivat

Derivata Lie de-a lungul câmpului vectorial este o mapare a spațiului definit de formula , unde este comutatorul câmpurilor vectoriale , . Acest operator se extinde, de asemenea, în mod unic la diferențiere , păstrează tipul de tensori și comută cu convoluția . În coordonate locale, derivata tensorului Lie se exprimă după cum urmează: $X$ $L_{X}$ $D'(M)$ $L_{X}:Y\la [X,\;Y]$ $[X Y]$ $X$ $Y$ $D(M)$ $T\left(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$

L_{X}T=\xi ^{k}{\frac {\partial T_{{j_{1}\ldots j_{m))}^{{i_{1}\ldots i_{l)))){ \partial u^{k))}+T_{{k\ldots j_{m))}^{{i_{1}\ldots i_{l))}{\frac {\partial \xi ^{k)) {\partial u^{i))}+\ldots -T_{{j_{1}\ldots j_{m))}^{{k\ldots i_{l))}{\frac {\partial \xi ^ {{i_{1}}}}{\partial u^{k}}}-\ldots

Derivat extern

Diferenţialul extern (derivata externă) este un operator liniar care asociază o formă diferenţială externă (tensor covariant simetric oblic) cu un grad cu o formă de acelaşi tip şi grad care îndeplineşte condiţiile: $d$ $p$ $p+1$

d(\omega _{1}\wedge \omega _{2})=d\omega _{1}\wedge \omega _{2}+(-1)^{r}\omega _{1}\wedge d\omega _{2},\quad d(d\omega )=0,

unde este simbolul produsului exterior , este gradul de . În coordonate locale, derivata externă a tensorului se exprimă după cum urmează: $\pană$ $r$ $\omega_{1}$ $\omega \langle \omega _{{i_{1}\ldots i_{p}}}\rangle$

d\omega =\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\partial \omega _{{i_{1}\ldots {\hat i}_ {k}\ldots i_{{p+1}}}}}{\partial u^{{i_{k}}}}}.

Operatorul este o generalizare a operatorului . $d$ ${\mathrm {putrezire}}$

Tensor de curbură

Tensorul de curbură al unui tensor simetric nedegenerat dublu covariant este acțiunea unui operator neliniar : $g_{{dacă}}$ $R$

g_{dacă}\to R_{mlk}^{s}={\frac {\partial \Gamma _{km}^{s)} {\partial u^{l)}}-{\frac { \partial \Gamma _{kl}^{s}}{\partial u^{m}}}+\sum _{p}\left(\Gamma _{lp}^{s}\Gamma _{km}^ {p}-\Gamma _{mp}^{s}\Gamma _{kl}^{p}\right)

Unde

\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{este}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial u^{k ))}+{\frac {\partial g_{ks}}{\partial u^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial u^{s}}}\right)

Literatură

Sokolnikov I. S. Analiza tensorilor. — M .: Nauka, 1971. — 374 p.
Shouten Ya. A. Analiza tensorilor pentru fizicieni. - M. : Ediția principală de literatură fizică și matematică a editurii „Nauka”, 1965. - 456 p.
Shirokov P. A. Calcul tensor. - M. - L .: Gostekhizdat, 1934. - 464 p.