Analiza Vectorială

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 martie 2022; verificările necesită 5 modificări .

Analiza vectorială este o ramură a matematicii care extinde metodele de analiză matematică la vectori , de obicei în două sau trei dimensiuni.

Domeniul de aplicare

Obiectele aplicației de analiză vectorială sunt:

Câmpurile vectoriale sunt mapări de la un spațiu vectorial la altul.
Câmpurile scalare sunt funcții pe un spațiu vectorial .

Analiza vectorială își găsește cea mai mare aplicație în fizică și inginerie . Principalele avantaje ale metodelor vectoriale față de metodele tradiționale de coordonate:

Compactitate. O ecuație vectorială combină mai multe coordonate, iar studiul ei poate fi efectuat cel mai adesea direct, fără a înlocui vectorii cu notația lor de coordonate.
Invarianta. Ecuația vectorială nu depinde de sistemul de coordonate și poate fi ușor tradusă într-o notație de coordonate în orice sistem de coordonate convenabil.
vizibilitate. Operatorii diferenţiali ai analizei vectoriale şi relaţiile care le leagă au de obicei o interpretare fizică simplă şi clară.

Operatori vectoriali

Cei mai des utilizați operatori vectoriali sunt:

Rotor și divergență - pentru câmpuri vectoriale.
Gradient - pentru câmpuri scalare.
Laplacian - pentru câmpuri scalare și vectoriale.

Operator	Desemnare	Descriere	Tip de
Gradient	$\operatorname {grad}(f)=\nabla f$	Determină direcția și viteza celei mai rapide creșteri a câmpului scalar.	Vector scalar $\Sageata dreapta$
Divergenţă	$\operatorname {div}({\mathbf {F}})=\nabla \cdot {\mathbf {F}}$	Caracterizează divergența, sursele și absorbanțele câmpului vectorial.	Scalar vectorial $\Sageata dreapta$
Rotor	$\operatorname {rot}({\mathbf {F}})=\nabla \times {\mathbf {F}}$	Caracterizează componenta vortex a câmpului vectorial.	vector vector $\Sageata dreapta$
Laplacian	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Combinație de divergență cu un gradient.	scalar scalar $\Sageata dreapta$
Vector laplacian	${\displaystyle \Delta \mathbf {A} = {\Delta }A_{x}\mathbf {i} + {\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z} \mathbf {k} }$ [unu]		vector vector $\Sageata dreapta$

$\operatorname {grad} (f)=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x)}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y)} \mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k}$

$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

$\operatorname {putrecerea} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} și\mathbf {j} și\mathbf {k} \ \{\frac {\partial }{\partial x))&{\frac {\partial }{\partial y))&{\frac {\partial }{\partial z))\\F_{x}&F_{ y}&F_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z} }\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\partial )\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k}$

$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2)}}+{\frac { \partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

$\Delta \mathbf {A} = {\Delta }A_{x}\mathbf {i} + {\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf { k} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{ \partial y^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{x)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl ( }{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2} ))+{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac { \partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$

Operații diferențiale de ordinul doi

	Câmp scalar $f=f(x,y,z)$	câmp vectorial $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$
	$\operatorname {grad}$	$\operatorname {div}$	$\operatorname {putrezire}$
$\operatorname {grad}$		$\operatorname {grad} \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} )$
$\operatorname {div}$	$\operatorname {div} \operatorname {grad} (f)=\nabla \cdot \nabla f=\nabla ^{2}f=\Delta f$		$\operatorname {div} \operatorname {putrezire} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$
$\operatorname {putrezire}$	$\operatorname {putrezire} \operatorname {grad} (f)=\nabla \times (\nabla f)=0$		$\operatorname {putrecerea} \operatorname {putrecerea} (\mathbf {A} )=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A } )-(\nabla \cdot \nabla )\cdot \mathbf {A} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {A} -\Delta \mathbf {A}$

Aceste operații se numesc operații diferențiale de ordinul doi pentru că sunt reduse la o diferențiere dublă a funcțiilor scalare sau vectoriale (formal: în notația lor simbolică, operatorul Hamilton apare de două ori). [2] $\Delta$

Raporturi de bază

Să prezentăm un rezumat al teoremelor practic importante ale analizei multivariate în notație vectorială.

Teorema	Înregistrare	Explicații
teorema gradientului	$\varphi \left({\mathbf {q}}\right)-\varphi \left({\mathbf {p}}\right)=\int _{L}\nabla \varphi \cdot d{\mathbf {r }}.$	Integrala curbilinie a gradientului de câmp scalar este egală cu diferența dintre valorile câmpului la punctele limită ale curbei.
teorema lui Green	$\oint \limits _{{C}}L\,dx+M\,dy=\iint \limits _{{D}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\ frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$	Integrala curbilinie peste un contur plan închis poate fi convertită într-o integrală dublă peste regiunea delimitată de contur.
Teorema lui Stokes	$\int \limits _({\Sigma }}\nabla \times {\mathbf {F}}\cdot d{\mathbf {\Sigma }}=\oint \limits _({\partial \Sigma }}{\mathbf {F}}\cdot d{\mathbf {r}},$	Integrala de suprafață a ondulației câmpului vectorial este egală cu circulația de-a lungul limitei acestei suprafețe.
Teorema Ostrogradsky-Gauss	$\iiiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right) dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S } ,$	Integrala de volum a divergenței unui câmp vectorial este egală cu fluxul acestui câmp prin suprafața limită.

Contur istoric

W. Hamilton a fost primul care a introdus vectori în legătură cu descoperirea în 1843 a cuaternionilor (ca parte a lor imaginară tridimensională). În două monografii (1853, 1866 postum), Hamilton a introdus conceptul de vector și funcție vectorială , a descris operatorul diferențial (" nabla ", 1846) și multe alte concepte de analiză vectorială. El a definit ca operații pe obiecte noi produsele scalare și vectoriale , care pentru cuaternioni au fost obținute pur algebric (cu înmulțirea lor obișnuită). Hamilton a introdus și conceptele de coliniaritate și coplanaritate ale vectorilor, orientarea unui triplu vectorial etc. $\nabla$

Compactitatea și invarianța simbolismului vectorial utilizat în primele lucrări ale lui Maxwell (1873) i-a interesat pe fizicieni; Elementele de analiză vectorială a lui Gibbs (1880) au apărut curând, iar apoi Heaviside ( 1903 ) a dat calculului vectorial un aspect modern. Este de remarcat faptul că deja în lucrările lui Maxwell, terminologia cuaternionului este aproape absentă, de fapt, înlocuită cu o terminologie pur vectorială. Termenul de „analiza vectorială” a fost propus de Gibbs (1879) în cursul său de prelegeri.

Vezi și

Literatură

Alexandrova NV Formarea conceptelor de bază ale calculului vectorial. // Cercetări istorice și matematice . - M . : Nauka , 1982. - Nr. 26 . - S. 205-234 .
Borisenko AI, Tarapov IE Analiza vectorială și principiile calculului tensor. Moscova: Școala superioară, 1966, 251 p.
Krasnov M. L., Kisilev A. I., Makarenko G. I. Analiza vectorială. Nauka, 1978, 160 p. (ed. a II-a URSS, 2002)
Kumpyak D. E. Analiză vectorială și tensorială. Arhivat pe 27 februarie 2014 la Wayback Machine Tver: Statul Tver. universitate , 2007, 158 p.
McConnel A. J. Introducere în analiza tensorială cu aplicații la geometrie, mecanică și fizică. Arhivat 27 februarie 2014 la Wayback Machine M.: Fizmatlit , 1963, 411 p.
Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, volumul III. — M .: Nauka , 1966.
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich „Dicționar matematic al învățământului superior”. Editura MPI 1984.

Note

↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich „Dicționar matematic al școlii superioare”. Editura MPI 1984. Articolul „Operator Laplace” și „Rotor de câmp vectorial”.
↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich „Dicționar matematic al școlii superioare”. Editura MPI 1984. Articolul „Operaţii diferenţiale de ordinul doi”.

Link -uri

L. I. Kovalenko, Elemente de analiză vectorială — MIPT 2001 (pdf) Arhivat 23 mai 2006 la Wayback Machine
Articol de analiză vectorială Astronet Arhivat pe 16 mai 2005 la Wayback Machine

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	NDL : 00560585 NKC : ph293195 , ph127008

Ramuri ale matematicii

Portalul „Știință”

Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii

Teoria numerelor ( aritmetică )

Algebră
Algebră elementară	Soluția ecuației
Algebră liniară	Calcul vectorial matrici Calcul tensor Algebră multiliniară
Algebră generală	Algebră comutativă Teoria reprezentării Algebră diferențială Algebră omologică Algebră universală Teoria categoriilor

Analiză
Analiza clasică	Calcul diferenţial Calcul integral
Teoria funcției	Analiza armonică Analiza cuaterniilor Analiză complexă teoria măsurării Teoria funcțiilor unei variabile reale analiza functionala Calculul variațiilor
Ecuații diferențiale și integrale	Sisteme dinamice și teoria ergodică Ecuatii diferentiale comun în derivate parţiale Ecuații integrale
Analiza Vectorială Analiza globală Teoria catastrofei Analiză personalizată Analiză infinitezimală netedă

Geometrie și topologie
Geometrie	Geometrie algebrică Geometrie analitică Geometrie euclidiană Geometrie non-euclidiană Planimetrie Stereometrie
Topologie	Topologie generală Topologie algebrică Geometrie și topologie diferențială

Matematică discretă
Combinatorică teoria grafurilor

Matematică aplicată
Fizică matematică Chimie matematică biologie matematică Statistici matematice Modelare matematică Teoria algoritmilor Metode numerice economie matematică matematica financiara Teoria probabilității Cercetare operațională Teoria jocului

Portalul „Matematică”
Categoria „Matematică”