Teorema lui Burnside

Teorema lui Burnside este o teoremă clasică în teoria grupurilor finite .

Teorema a fost demonstrată de William Burnside la începutul secolului al XX-lea. [1] Teorema lui Burnside a fost mult timp cea mai faimoasă aplicație a teoriei reprezentării la teoria grupurilor . O dovadă fără a folosi caractere de grup a fost găsită de Goldsmith mult mai târziu. [2]

Formulare

Fie ca grupul să aibă ordine , unde și sunt numere prime . Atunci este permis . $G$ $p^{a}\cdot q^{b)$ $p$ $q$ $G$

Note

Din teoremă rezultă că fiecare grup finit simplu non-Abelian are un ordin divizibil cu trei numere prime distincte.
- În special, cel mai mic grup finit simplu non-Abelian , grupul alternant, are ordine . $A_{5}$ $60=5\cdot 3\cdot 2^{2)$

Schema dovezii lui Burnside

Folosind inducția matematică , este suficient să demonstrăm că un grup simplu de ordin dat este abelian [3] . $G$
După teorema lui Sylow , un grup are fie un centru netrivial , fie o clasă de conjugație de dimensiune pentru unii . În primul caz, deoarece centrul este un subgrup normal al grupului , trebuie să coincidă cu centrul și, prin urmare, să fie abelian. Aceasta înseamnă că al doilea caz este adevărat: există un element al grupului astfel încât clasa de conjugație a elementului are dimensiunea . $G$ $p^{r)$ $r\geqslant 1$ $G$ $X$ $G$ $X$ $p^{r}>1$
Folosind proprietățile de ortogonalitate ale caracterelor de grup și proprietățile numerelor algebrice, se poate demonstra existența unui caracter de grup ireductibil netrivial astfel încât . $\chi$ $G$ $|\chi (x)|=\chi (1)$
Din simplitatea grupului rezultă că orice reprezentare complexă ireductibilă a unui personaj este adevărată (sau exactă), și de aici rezultă că aparține centrului grupului , ceea ce contrazice faptul că dimensiunea clasei de conjugație este mai mare decât 1. $G$ $\chi$ $X$ $G$

Variații și generalizări

Cel mai mic număr prim din expansiunea ordinului unui grup finit nerezolvabil intră în expansiune la o putere de cel puțin 2.

Note

↑ Burnside, W. (1904), On Groups of Order p α q β , Proc. London Math. soc. (nr. s2-1(1)): 388–392, doi : 10.1112/plms/s2-1.1.388 , < https://zenodo.org/record/1433459/files/article.pdf >
↑ Goldschmidt, David M. (1970), A group theoretical proof of the p a q b theorem for odd primes , Math. Z. T. 113: 373–375 , DOI 10.1007/bf01110506
↑ Skornyakov L. A. Elemente de algebră. — M.: Nauka, 1986. — S. 228-229. – Tiraj 21.000 de exemplare.

Literatură

James, Gordon; și Liebeck, Martin (2001). Reprezentări și personaje ale grupurilor (ed. a II-a). Cambridge University Press . ISBN 0-521-00392-X . Capitolul 31
Fraleigh, John B. (2002) Un prim curs de algebră abstractă (ediția a 7-a). Addison Wesley . ISBN 0-201-33596-4 .

Link -uri

R. Borcherds (engleză) , Teoria reprezentării: teorema lui Burnside pe YouTube