Reprezentare ireductibilă

O reprezentare ireductibilă a unei structuri algebrice este o reprezentare diferită de zero care nu are propria sa subreprezentare închisă în . $(\rho ,V)$ $A$ $(\rho |_{W},W), W\subset V$ $\{\rho (a):a\in A\)$

Orice reprezentare unitară de dimensiuni finite pe un spațiu vectorial hermitian [1] este o sumă directă de reprezentări ireductibile. Deoarece reprezentările ireductibile sunt întotdeauna indecompuse (adică nu pot fi descompuse în continuare într-o sumă directă de reprezentări), acești termeni sunt adesea confuzi. Totuși, în cazul general, există multe reprezentări reductibile, dar indecompuse, precum reprezentarea bidimensională a numerelor reale, care acționează prin matrice unipotente triunghiulară superioară. $V$

Istorie

Teoria reprezentării grupurilor a fost generalizată de Richard Brouwer în anii 1940, dând o teorie a reprezentării modulare , în care operațiile matriceale operează pe un spațiu vectorial peste un câmp de caracteristici arbitrare , mai degrabă decât pe un spațiu vectorial peste câmpul numerelor reale sau peste . domeniul numerelor complexe . Structura analogă reprezentării ireductibile din teoria rezultată este modulul simplu . $K$

Prezentare generală

Fie o reprezentare, adică un homomorfism al grupului , unde este un spațiu vectorial peste câmpul . Dacă alegem o bază pentru , poate fi considerată o funcție (homomorfism) dintr-un grup într-o mulțime de matrici inversabile, iar în acest context reprezentarea se numește reprezentare matricială . Totuși, totul este mult simplificat dacă luăm în considerare spațiul fără bază. $\rho$ $\rho:G\to GL(V)$ $G$ $V$ $F$ $B$ $V$ $\rho$ $V$

Un subspațiu liniar se numește -invariant dacă pentru all și all . restricția la un subspațiu invariant este cunoscută ca subreprezentare . Se spune că o reprezentare este ireductibilă dacă are doar subreprezentări triviale (toate reprezentările pot forma o subreprezentare cu subreprezentări triviale -invariante, de exemplu cu întregul spațiu vectorial și {0} ). Dacă există un subspațiu invariant netrivial propriu , se spune că reprezentarea este reductibilă . $W\subset V$ $G$ $\rho (g)w\in W$ $g\în G$ $w\in W$ $\rho$ $G$ $W\subset V$ $\rho:G\to GL(V)$ $G$ $V$ $\rho$

Notație și terminologie pentru reprezentările de grup

Elementele unui grup pot fi reprezentate prin matrice , deși termenul „reprezentat” are un sens specific și precis în acest context. O reprezentare de grup este o mapare de la elemente de grup la un grup liniar complet de matrice. Fie a , b , c ... să desemneze elemente ale grupului G cu un produs de grup care nu este reflectat de niciun simbol, adică ab este produsul de grup al lui a și b , care este, de asemenea, un element al grupului G. Fie reprezentările să fie notate cu litera D . Reprezentarea elementului a se scrie ca

D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21 }&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2 }&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}

Prin definiția reprezentărilor de grup, reprezentarea unui produs de grup este tradusă în multiplicarea matricelor de reprezentare :

D(ab)=D(a)D(b)

Dacă e este un element neutru al grupului (astfel încât ), atunci D ( e ) este matricea de identitate , deoarece trebuie să avem $ae=ea=a$

D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)

și la fel pentru alte elemente ale grupului. Ultimele două afirmații îndeplinesc cerința ca D să fie un homomorfism de grup .

Reprezentări descompuse și indecompuse

Reprezentarea este descompunabilă dacă o matrice similară P poate fi găsită pentru transformarea de similaritate [2] :

D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P

care diagonalizează orice matrice din vedere în blocuri diagonale - fiecare dintre blocuri este o reprezentare a grupului independent unul de celălalt. Reprezentările D ( a ) și D′ ( a ) se spune că sunt echivalente [3] . Reprezentarea poate fi descompusă într-o sumă directă de k matrice :

D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)} (a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1) }(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a)

deci D ( a ) este descompunebil și de obicei etichetele matricelor de descompunere sunt scrise între paranteze, ca D ( n ) ( a ) pentru n = 1, 2, ..., k , deși unii autori scriu etichete numerice fără paranteze.

Dimensiunea lui D ( a ) este egală cu suma dimensiunilor blocurilor:

\dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^ {(k)}(a)]

Dacă acest lucru nu este posibil, adică , atunci reprezentarea este indecompunabilă [2] [4] . $k=1$

Exemple de reprezentări ireductibile

Reprezentare banala

Toate grupurile au o reprezentare trivială ireductibilă unidimensională. Mai general, orice reprezentare unidimensională este ireductibilă datorită absenței subspațiilor netriviale proprii. $G$

Reprezentări complexe ireductibile

Reprezentările complexe ireductibile ale unui grup finit G pot fi descrise folosind rezultatele din teoria caracterelor . În special, toate astfel de reprezentări sunt descompuse într-o sumă directă de reprezentări ireductibile, iar numărul de reprezentări ireductibile ale unui grup este egal cu numărul claselor de conjugație [5] . $G$ $G$

Reprezentările complexe ireductibile sunt date exact de mapări , unde este -a rădăcină a unității . $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$ $1\mapsto\gamma$ $\gamma$ $n$

Fie reprezentare complexă -dimensională cu bază . Apoi se descompune ca o sumă directă de reprezentări ireductibile $V$ $n$ $S_{n}$ $\{v_{i}\}_{i=1}^{n)$ $V$

V_{triv}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)

iar subspațiul ortogonal este dat de formula:

V_{std}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i =1}^{n}a_{i}=0\right\}

Prima reprezentare ireductibilă este unidimensională și izomorfă la reprezentarea trivială . Al doilea este dimensional și este cunoscut ca reprezentare standard [5] .

S_{n}

n-1

S_{n}

Să fie un grup. O reprezentare regulată a unui grup este un spațiu vectorial complex liber cu o bază cu acțiune de grup , notat ca Toate reprezentările ireductibile apar în expansiune ca o sumă directă a reprezentărilor ireductibile. $G$ $G$ $\{e_{g}\}_{g\in G}$ $g\cdot e_{g'}=e_{gg'}$ $\mathbb {C} G.$ $G$ $\mathbb {C} G$

Aplicații în fizica teoretică și chimie

În mecanica cuantică și chimia cuantică , fiecare set de stări proprii degenerate ale unui operator hamiltonian constituie un spațiu vectorial V pentru a reprezenta grupul de simetrie al hamiltonianului, un „multiplet”, care este cel mai bine studiat prin reducerea la părți ireductibile. Prin urmare, notația de reprezentare ireductibilă vă permite să atribuiți etichete stărilor și să preziceți cum se vor împărți atunci când sunt sau vor trece într-o altă stare în V . Astfel, în mecanica cuantică, reprezentările ireductibile ale grupului de simetrie a sistemului determină parțial sau complet etichetele pentru nivelurile de energie ale sistemului, ceea ce face posibilă determinarea regulilor de selecție [6] .

Grupuri de minciuni

Grupul Lorentz

Reprezentările ireductibile D ( K ) și D ( J ) , unde J este un generator de rotație și K este un generator de boost , pot fi folosite pentru a construi o reprezentare spinor a grupului Lorentz , deoarece sunt legate de matricele spin de mecanică cuantică . Acest lucru le permite să fie utilizate pentru a deriva ecuații de undă relativiste [7] .

Vezi și

Algebră asociativă

modul simplu
Modul necompunebil
Reprezentare algebrică asociativă

Grupuri de minciuni

Reprezentare algebrică Lie
Teoria reprezentării grupurilor SU(2)
Teoria reprezentării grupurilor SL2(R)
Teoria reprezentării grupului galileian
Teoria reprezentării difereomorfismelor de grup
Teoria reprezentării grupului Poincaré
Teorema de greutate mai mare

Note

↑ Definiție Un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste un câmp C echipat cu o formă hermitiană definită pozitiv se numește spațiu hermitian ( Nikitin 2010 ), ( Timofeeva 2017 )
↑ 12 Wigner , 1959 , p. 73.
↑ Tung, 1985 , p. 32.
↑ Tung, 1985 , p. 33.
↑ 12 Serre , 1977 .
↑ A Dictionary of Chemistry, Answers.com . Oxford Dictionary of Chemistry. Preluat la 20 martie 2019. Arhivat din original la 3 martie 2016. (nedefinit)
↑ Jaroszewicz, Kurzepa, 1992 , p. 226–267.

Literatură

N.D. Nikitin. ALGEBRA SI TEORIA NUMERELOR. — Penza, 2010.
N. V. Timofeeva. Algebră liniară. Algebra modernă. Partea 2. - Yaroslavl: YarSU, 2017. - P. 52. - ISBN 978-5-8397-1118-1 .
Teoria grupului Wigner EP și aplicarea acesteia la mecanica cuantică a spectrelor atomice. - Presa academică, 1959. - (Fizică pură şi aplicată).
Teoria grupurilor Tung W.K. în fizică . - World Scientific, 1985. - ISBN 978-997-1966-560 .
Jean-Pierre Serre. Reprezentări liniare ale grupurilor finite . - Springer-Verlag, 1977. - ISBN 978-0387901909 .
Teoria grupurilor Tung W.K. în fizică . - World Scientific, 1985. - P. 32. - ISBN 978-997-1966-560 .
T. Jaroszewicz, PS Kurzepa. Geometria propagării spațiu-timp a particulelor în rotație // Analele fizicii. - 1992. - T. 216 , nr. 2 . — S. 226–267 . - doi : 10.1016/0003-4916(92)90176-M . — Cod .

Cărți

H. Weyl . Teoria grupelor și mecanica cuantică . - Publicațiile Courier Dover, 1950. - P. 203. - ISBN 978048660269.
Boardman AD, O'Conner DE, Young PA Symmetry și aplicațiile sale în știință. - McGraw Hill, 1973. - ISBN 978-0-07-084011-9 .
Heine V. Teoria grupurilor în mecanica cuantică: o introducere în utilizarea sa actuală . - Dover, 2007. - ISBN 978-0-07-084011-9 .
Heine V. Teoria grupurilor în mecanica cuantică: o introducere în utilizarea sa actuală . - Publicațiile Courier Dover, 1993. - ISBN 978-048-6675-855 .

Abers E. Mecanica cuantică. - Addison Wesley, 2004. - P. 425. - ISBN 978-0-13-146100-0 .
Martin BR, Shaw G. Fizica particulelor. — al 3-lea. — Seria Manchester Physics, John Wiley & Sons. - P. 3. - ISBN 978-0-470-03294-7 .
Weinberg S. Teoria cuantică a câmpurilor. - Cambridge University Press, 1995. - V. 1. - S. 230-231. - ISBN 978-0-521-55001-7 .
Weinberg S. Teoria cuantică a câmpurilor. - Cambridge University Press, 1996. - V. 2. - ISBN 978-0-521-55002-4 .
Weinberg S. Teoria cuantică a câmpurilor. - Cambridge University Press, 2000. - V. 3. - ISBN 978-0-521-66000-6 .
Penrose R. Drumul către realitate. - Cărți de epocă, 2007. - ISBN 978-0-679-77631-4 .
Atkins PW Mecanica cuantică moleculară (părțile 1 și 2): o introducere în chimia cuantică. - Oxford University Press, 1970. - V. 1. - S. 125-126. - ISBN 978-0-19-855129-4 .

Articole

Bargmann V., Wigner EP Group Discuție teoretică a ecuațiilor de unde relativiste // Proc. Natl. Acad. sci. STATELE UNITE ALE AMERICII. - 1948. - T. 34 , nr. 5 . — S. 211–23 . - doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . - Cod biblic . — PMID 16578292 .
Wigner E. On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group // Annals of Mathematics. - 1937. - T. 40 , nr 1 . - S. 149 . - doi : 10.2307/1968551 . — Cod biblic . — .

Lectură pentru lecturi suplimentare

Artin, Michael Inele necommutative (1999). Preluat la 20 martie 2019. Arhivat din original la 24 februarie 2021. (nedefinit)

Link -uri

Comisia de cristalografie matematică și teoretică, școli de vară de cristalografie matematică . Preluat la 20 martie 2019. Arhivat din original la 4 august 2016. (nedefinit)
van Beveren, Eef Câteva note despre teoria grupurilor (link indisponibil) (2012). Preluat la 20 martie 2019. Arhivat din original la 20 mai 2011. (nedefinit)
Teleman, Constantin Teoria reprezentării (2005). Preluat la 20 martie 2019. Arhivat din original la 21 septembrie 2019. (nedefinit)
Finley Câteva note despre Young Tableaux ca fiind utile pentru irreps of su(n) . (nedefinit) (link indisponibil)
Hunt Irreductible Representation (IR) Symmetry Labels (2008). Preluat la 20 martie 2019. Arhivat din original la 15 februarie 2020. (nedefinit)
Dermisek, Radovan Representations of Lorentz Group (link inaccesibil) (2008). Preluat la 20 martie 2019. Arhivat din original la 23 noiembrie 2018. (nedefinit)
Maciejko, Joseph Reprezentări ale grupurilor Lorentz și Poincaré (2007). Preluat la 20 martie 2019. Arhivat din original la 25 octombrie 2017. (nedefinit)
Woit, Peter Mecanica cuantică pentru matematicieni: Reprezentări ale grupului Lorentz (2015). Preluat la 20 martie 2019. Arhivat din original la 30 martie 2019. (nedefinit) , vezi capitolul 40
Drake, Kyle; Feinberg, Michael; Breasla, David; Turetsky, Emma Reprezentări ale grupului de simetrie al spațiu-timpului (2009). Preluat la 20 martie 2019. Arhivat din original la 29 august 2017. (nedefinit)
Finley Lie Algebra pentru Poincaré și Lorentz, Grupuri (link inaccesibil) . Arhivat din original pe 17 iunie 2012. (nedefinit)
Bekaert, Xavier & Boulanger, Niclas (2006), Reprezentările unitare ale grupului Poincaré în orice dimensiune spațiu-timp, arΧiv : hep-th/0611263 .
Dicționarul McGraw-Hill de termeni științifici și tehnici . Preluat la 20 martie 2019. Arhivat din original la 3 martie 2016. (nedefinit)

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier