Teorema lui Casey

Teorema lui Casey sau Casey este o teoremă din geometria euclidiană care generalizează inegalitatea lui Ptolemeu . Numit după matematicianul irlandez John Casey .

Formulare

Fie un cerc cu raza . Fie (în ordinea indicată) patru cercuri care nu se intersectează situate în interior și tangente la el. Se notează prin lungimea segmentului dintre punctele de contact ale tangentei comune exterioare a cercurilor . Apoi [1] : $O$ $R$ ${\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3},O_{4))$ $O$ $t_{ij)$ $O_{i}, O_{j)$

t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.

În cazul degenerat, când toate cele patru cercuri sunt reduse la puncte (cercuri cu raza 0), se obține exact teorema lui Ptolemeu .

Note

Teorema lui Casey este valabilă pentru șase tangente perechi a patru cercuri tangente la un cerc comun nu numai intern, așa cum sa discutat mai sus, ci și extern, așa cum se arată în Fig. de mai jos.

În acest caz, formula obișnuită a teoremei Casey este îndeplinită:

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

În cazul degenerat, când trei dintre cele patru cercuri sunt reduse la puncte (cercuri cu raza 0), iar o latură a patrulaterului degenerează până la un punct, iar celelalte trei laturi ale patrulaterului formează un triunghi echilateral, exact generalizatul lui Pompei. se obtine teorema .
În cazul degenerat în care toate cele patru cercuri sunt reduse la puncte (cercuri cu raza 0), acest din urmă caz dă și teorema lui Ptolemeu .

Dovada

Următoarea dovadă se datorează (după Bottem [2] ) de către Tzacharias [3] . Să notăm raza cercului ca , iar punctul de contact cu cercul ca . Vom folosi notația pentru centrele cercurilor. Rețineți că teorema lui Pitagora implică $O_{i}$ $R_i$ $O$ $K_{i}$ $O,O_{i)$

t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j)}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.

Să încercăm să exprimăm lungimile prin puncte . După legea cosinusurilor într-un triunghi , $K_{i},K_{j)$ $O_{i}OO_{j)$

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=\overline {OO_{i}}^{2}+\overline {OO_{j}}^{2}-2\overline {OO_{i }}\cdot \overline {OO_{j}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}

Din moment ce cercurile se ating, $O,O_{i)$

\overline {OO_{i}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}

Fie un punct pe cerc . Conform legii sinusurilor într-un triunghi $C$ $O$ $K_{i}CK_{j)$

\overline {K_{i}K_{j}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{ 2}}

Astfel încât,

\cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left( {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2 }}{2R^{2}}}

și după înlocuirea expresiei rezultate în formula de mai sus,

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i })(R-R_{j})\left(1-{\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}}{2R^{2}}}\right)

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i })(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}} {R^{2}}}

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})( R-R_{j})\cdot {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}}{R^{2}}}

În sfârșit, lungimea dorită

t_{{ij}}={\sqrt {\overline {O_{i}O_{j}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac { {\sqrt {R-R_{i))}\cdot {\sqrt {R-R_{j))}\cdot \overline {K_{i}K_{j))}{R))

Acum puteți transforma partea stângă folosind teorema lui Ptolemeu aplicată unui patrulater înscris : ${\displaystyle K_{1}K_{2}K_{3}K_{4))$

t_{{12}}t_{{34}}+t_{{14}}t_{{23}}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{ 1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left(\overline {K_{1} K_{2}}\cdot \overline {K_{3}K_{4}}+\overline {K_{1}K_{4}}\cdot \overline {K_{2}K_{3}}\right)

={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3 ))}{\sqrt {R-R_{4}}}\left(\overline {K_{1}K_{3}}\cdot \overline {K_{2}K_{4}}\right)=t_{ {13}}t_{{24}}

Variații și generalizări

Se poate demonstra că cele patru cercuri nu trebuie să se afle în interiorul cercului mare. De fapt, o pot atinge și din exterior. În acest caz, trebuie făcute următoarele modificări [4] :

Dacă se ating pe aceeași parte (ambele din interior sau ambele din exterior), lungimea segmentului tangentelor exterioare.

O_{i}, O_{j)

O

t_{ij)

Dacă se ating din laturi diferite (una din interior, cealaltă din exterior), - lungimea segmentului tangentelor interne.

O_{i}, O_{j)

O

t_{ij)

Reversul teoremei lui Casey este de asemenea adevărată [4] . Astfel, dacă egalitatea este valabilă, cercurile se ating. De exemplu, pentru fig. mai jos avem :

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

Conceptele de „lungimea unui segment de tangente externe” și „lungimea unui segment de tangente interne” pot fi înșelătoare, deoarece aceste tangente pot fi desenate atât în interiorul, cât și în afara cercului de legătură comun, deoarece perechi similare de tangente a două cercuri sunt mereu egali. Este mai important să se opereze aici nu cu conceptele de „tangente externe” și „tangente interne”, ci cu conceptele de cea mai mare și cea mai mică tangente pentru două cercuri, deoarece două perechi de tangente similare pot fi trase la două cercuri, întotdeauna egale pentru fiecare pereche, dar nu egale între diferitele perechi de tangente. Acest lucru se vede clar când comparăm cele două cifre. Modul în care se află o pereche de cercuri în raport cu unul dintre cele două tipuri posibile de tangente comune desenate la ele poate fi găsit prin valoarea distanței lor inverse I , care poate lua 3 valori: 0, +1 și -1.

Aplicații

Teorema lui Casey și inversul ei pot fi folosite pentru a demonstra diferite afirmații din geometria euclidiană . De exemplu, cea mai scurtă demonstrație cunoscută [5] a teoremei lui Feuerbach folosește inversul teoremei lui Casey .

Note

↑ Casey, 1866 .
↑ Bottema, 1944 .
↑ Zaharia, 1942 .
↑ 12 Johnson, 1929 .
↑ Casey, 1866 , p. 411.

Literatură

John Casey. Despre ecuații și proprietăți: (1) ale sistemului de cercuri care ating trei cercuri într-un plan; (2) al Sistemului de sfere care ating patru sfere în spațiu; (3) al sistemului de cercuri care ating trei cercuri pe o sferă; (4) din Sistemul de conici înscrise într-o conică și atingerea a trei conici înscrise într-un plan // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1866. - Nr 9 . - S. 396-423 . — .
M. Zaharia. Der Caseysche Satz // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . - 1942. - T. 52 . - S. 79-89 .
O. Bottema. Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. - a celei de-a doua ediții extinse publicată de Epsilon-Uitgaven 1987. - Springer 2008 (traducere de Reinie Erné ca Topics in Elementary Geometry ), 1944.
Roger A. Johnson. geometria modernă. — Houghton Mifflin, Boston (facsimil republicat de Dover 1960, 2007 ca Advanced Euclidean Geometry ), 1929.

Link -uri

Weisstein, teorema lui Eric W. Casey (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Shailesh Shirali: Despre o teoremă generalizată a lui Ptolemeu (link în jos)