Teorema lui Feuerbach

Teorema lui Feuerbach  este rezultatul geometriei unui triunghi . Teorema a fost formulată și demonstrată de Carl Wilhelm Feuerbach în 1822 .

Formulare

Cercul de nouă puncte ale unui triunghi arbitrar atinge cercul și toate cele trei cercuri ale acestui triunghi.

Note

• Punctele de tangență perechi ale unui cerc și trei excercuri cu un cerc de nouă puncte se numesc puncte Feuerbach .
• Fiecare punct Feuerbach se află în punctul tangent al unei perechi de cercuri corespunzătoare pe linia care leagă centrele, la o distanță de razele corespunzătoare de centrele lor.
• Într -un triunghi echilateral, cercul de nouă puncte nu se atinge, ci coincide cu cercul înscris.

• Trei puncte de contact ale celor trei cercuri ale unui triunghi cu cercul său de nouă puncte formează așa-numitul triunghi Feuerbach pentru acest triunghi.

• Punctul Feuerbach F din Encyclopedia of Triangle Centers a lui Clark Kimberling este identificat ca punctul (centrul) X(11).

Despre dovezi

Au fost găsite peste 300 de dovezi ale acestei teoreme, dintre care multe folosesc inversiunea. Unul dintre ei (îngreuitor) îi aparține însuși Feuerbach. Cea mai scurtă demonstrație cunoscută folosește teorema inversă a lui Casey [1] .

Declarații înrudite

• O hiperbolă Feuerbach  este o hiperbolă circumscrisă care trece prin ortocentrul și centrul cercului înscris . Centrul său se află în punctul Feuerbach. Cercurile Poder și cevian de puncte de pe hiperbola Feuerbach trec prin punctul Feuerbach. În special, un cerc trece prin punctul Feuerbach , trasat prin bazele bisectoarelor . [2] [3]

• Punctul Feuerbach F se află pe linia care leagă centrele a două cercuri: cercul Euler și cercul înscris, care îl definește.
• Fie , și distanțele de la punctul Feuerbach F la vârfurile triunghiului mijlociu (un triunghi cu vârfuri la mijlocul laturilor acestui triunghi). Apoi [4] .

• Această afirmație este echivalentă cu faptul că cea mai mare dintre cele trei distanțe este egală cu suma celorlalte două. Adică, un analog al proprietăților teoremei lui Mavlo nu este pentru arce, ci pentru segmente.

O relație similară se găsește și în secțiunea: „ Teorema lui Pompei ”.

• Câteva noi teoreme despre punctul Feuerbach F pot fi găsite în F. Ivlev [5] .

Note

1. ↑ Casey, 1866 , p. 411.
2. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Proprietățile geometrice ale curbelor de ordinul doi. - Ed. a II-a, Suplimentar - 2011. - S. 105.
3. ↑ Dan Pedoe . Cercuri: o viziune matematică, Asociația de matematică din America, Washington, DC, 1995.
4. ^ Weisstein , Eric W. Feuerbach Point  pe site- ul Wolfram MathWorld .
5. ↑ Ivlev F. Câteva linii care trec prin punctul Feuerbach / Educație matematică, ser. 3, nr. 15, 2011, p. 219-228

Literatură

• Dm. Efremov, Noua geometrie a triunghiului . (1902)
• Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Noi întâlniri cu geometria. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Biblioteca Cercului Matematic).
• Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 volume - M . : MTSNMO , 2004. - S. 49-50. — ISBN 5-94057-170-0 .
• Punctul Feuerbach. https://en.wikipedia.org/wiki/Feuerbach_point
• puncte Feuerbach (engleză). http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/feuer.html
• Thébault, Victor (1949), Despre punctele Feuerbach , American Mathematical Monthly vol . 56: 546–547 , DOI 10.2307/2305531 
• Emelyanov, Lev & Emelyanova, Tatiana (2001), O notă despre punctul Feuerbach, Forum Geometricorum vol . 1: 121–124 (electronic) 
• Suceavă, Bogdan & Yiu, Paul (2006), Punctul Feuerbach și liniile Euler, Forum Geometricorum vol. 6: 191–197 
• Vonk, Jan (2009), The Feuerbach point and reflections of the Euler line, Forum Geometricorum vol . 9: 47–55 
• Nguyen, Minh Ha & Nguyen, Pham Dat (2012), Demonstrații sintetice a două teoreme legate de punctul Feuerbach, Forum Geometricorum vol . 12: 39–46 
• John Casey. Despre ecuații și proprietăți: (1) ale sistemului de cercuri care ating trei cercuri într-un plan; (2) al Sistemului de sfere care ating patru sfere în spațiu; (3) al sistemului de cercuri care ating trei cercuri pe o sferă; (4) din Sistemul de conici înscrise într-o conică și atingerea a trei conici înscrise într-un plan // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1866. - Nr 9 . - S. 396-423 . — .