Distanța inversă

Distanța inversă este o modalitate de a măsura „ distanța ” dintre două cercuri , indiferent dacă cercurile se intersectează, se ating sau nu au puncte comune [1] .

Proprietăți

Distanța inversă nu se modifică dacă cercurile sunt inversate sau supuse transformării Möbius [1] [2] [3] . O pereche de cercuri poate fi translată într-o altă pereche de cercuri folosind transformarea Möbius dacă și numai dacă ambele perechi au aceeași distanță inversă [1] .

Pentru o distanță inversă, este îndeplinit un analog al teoremei Beckman-Quorles - dacă o bijecție a unui set de cercuri pe un plan invers păstrează o distanță inversă între o pereche de cercuri la o distanță fixă , atunci trebuie să fie o Transformarea Möbius care păstrează toate distanțele inverse [3] . $\delta$

Formula distanței

Pentru două cercuri pe planul euclidian cu raze și și distanța dintre centre , distanța inversă poate fi determinată cu formula [1] $r$ $R$ $d$

I={\frac {d^{2}-r^{2}-R^{2}}{2rR}}.

Formula dă:

o valoare mai mare decât 1 pentru două cercuri care nu se intersectează,
valoarea 1 pentru două cercuri tangente situate pe laturile opuse ale tangentei în punctul de contact,
o valoare între -1 și 1 pentru două cercuri care se intersectează,
- valoarea 0 pentru două cercuri care se intersectează în unghi drept ,
valoarea -1 pentru două cercuri care se ating unul de celălalt atunci când unul dintre cercuri se află în interiorul celuilalt,
o valoare mai mică decât −1 dacă un cerc se află complet în interiorul celuilalt.

Unii autori definesc distanța inversă absolută ca fiind valoarea absolută a distanței inverse.

Unii autori modifică formula distanței luând cosinusul hiperbolic (areacosinus) reciproc al valorii date mai sus [2] . Adică, în loc de distanța inversă este definită ca numărul dat de egalitate $eu$ $\delta$

\delta =\operatorname {arcosh} (I).

Deși conversia distanței inverse în acest fel face formula mai complicată și împiedică aplicarea acesteia la o pereche de cercuri care se intersectează, formula are avantajul că (ca distanța obișnuită dintre punctele dintr-un plan) distanța devine aditivă pentru cercuri în un mănunchi de cercuri disjunse . Adică, dacă trei cercuri aparțin aceluiași mănunchi, atunci (folosind în schimb ca distanță inversă) una dintre cele trei distanțe perechi va fi suma celorlalte două [4] [5] . $\delta$ $eu$

În alte geometrii

Este posibil să se definească o distanță inversă pentru cercuri pe o sferă sau pe o suprafață hiperbolică [1] .

Aplicații

Lanțuri Steiner

Un lanț Steiner pentru două cercuri care nu se intersectează este o succesiune finită de cercuri suplimentare, fiecare tangent la două cercuri date și două cercuri adiacente în lanț. Porismul lui Steiner afirmă că, dacă două cercuri au un lanț Steiner, ele au infinit de astfel de lanțuri. Lanțul are voie să ruleze de mai multe ori în jurul a două cercuri date și poate fi descris printr-un număr rațional , al cărui numărător este egal cu numărul de cercuri din lanț și al cărui numitor determină numărul de rotații ale lanțului. Toate lanțurile pentru două cercuri date au aceeași valoare . Dacă distanța inversă dintre două cercuri (după luarea cosinusului hiperbolic invers) este , atunci poate fi găsită prin formula $p$ $p$ $\delta$ $p$

p={\frac {\pi }{\sin ^{-1}\tanh(\delta /2))).

În schimb, oricare două cercuri care nu se intersectează pentru care această formulă dă un număr rațional au un lanț Steiner. Mai general, o pereche arbitrară de cercuri disjunse poate fi aproximată în mod arbitrar aproape de o pereche de cercuri având un lanț Steiner a cărui valoare este o aproximare rațională a valorii date de formula pentru cele două cercuri date [4] . $p$

Cercuri de ambalare

Distanța inversă este utilizată pentru a defini conceptul de distanță inversă a unui pachet de cercuri - un set de cercuri cu proprietatea că un subset specificat de perechi de cercuri (corespunzător marginilor unui grafic plan ) au dat distanțe inverse între fiecare alte. Această noțiune generalizează împachetarea cercurilor descrisă de teorema de împachetare a cercurilor , în care perechile alese de cercuri sunt tangente una la alta [1] [6] . Deși se știe mai puțin despre existența unei împachetari cu distanțele inverse date în comparație cu o împachetare cu tangență, se știe că, având în vedere existența unui astfel de împachetare, cercurile pot fi definite în mod unic (până la o transformare Möbius) printr-o dată. graficul plan maximal și un set de distanțe inverse euclidiene sau hiperbolice. Această proprietate de rigiditate poate fi generalizată în esență la metricile euclidiene și hiperbolice pe varietăți triangulate cu defecte de colț la vârfuri [7] . Totuși, pentru varietăți cu geometrie sferică, astfel de împachetari nu vor fi unice [8] . La rândul lor, împachetarea cercurilor cu distanță inversă pot fi utilizate pentru a construi aproximări ale mapărilor conforme [1] .

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Bowers, Hurdal, 2003 , p. 3–34.
↑ 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967 , p. 123–124.
↑ 1 2 Lester, 1991 , p. 492–498.
↑ 1 2 Coxeter, 1966 , p. 73–83.
↑ Coxeter, Greitzer 1978 , p. 152.
↑ Bowers, Stephenson, 2004 , p. 78–82.
↑ Luo, 2011 , p. 2299–2319.
↑ Ma, Schlenker, 2012 , p. 610–617.

Literatură

H.S.M. Coxeter , S.L. Greitzer . Geometrie Revizuită. - Washington, DC : Asociația Matematică din America , 1967. - Vol. 19. - P. 123-124. — ( Noua bibliotecă matematică ). - ISBN 978-0-88385-619-2 .
- G.S.M. Coxeter , S.L. Greitzer . Noi întâlniri cu geometria. - Moscova: "Nauka" , 1978. - ( Biblioteca Cercului Matematic ).
HSM Coxeter . Distanţa inversivă // Annali di Matematica Pura ed Applicata. - 1966. - T. 71 . — p. 73–83 . - doi : 10.1007/BF02413734 .
JA Lester. O teoremă de tip Beckman-Quarles pentru distanța inversă a lui Coxeter // Canadian Mathematical Bulletin. - 1991. - T. 34 , nr. 4 . — S. 492–498 . - doi : 10.4153/CMB-1991-079-6 .
Philip L. Bowers, Monica K. Hurdal. Mapări conforme planare ale suprafețelor plane pe bucăți // Vizualizare și Matematică III / Hans-Christian Hege, Konrad Polthier. - Springer, 2003. - S. 3-34. — (Matematică și vizualizare). - doi : 10.1007/978-3-662-05105-4_1 .
Philip L. Bowers, Kenneth Stephenson. 8.2 Împachetare inversă la distanță // Uniformizarea desenelor și hărților Belyĭ prin împachetare în cerc. - 2004. - T. 805. - S. 78–82. — (Memorii ale Societății Americane de Matematică). doi : 10.1090/memo/ 0805 .
Feng Luo. Rigiditatea suprafetelor poliedrice, III // Geometrie & Topologie. - 2011. - T. 15 , nr. 4 . — S. 2299–2319 . - doi : 10.2140/gt.2011.15.2299 .
Jiming Ma, Jean-Marc Schlenker. Non-rigiditatea sfericilor cercurilor de distanță inversă // Discrete Comput. Geom.. - 2012. - T. 47 , nr. 3 . — S. 610–617 . - doi : 10.1007/s00454-012-9399-3 .

Link

Weisstein, Eric W. Inversive Distance (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .