Teorema lui Morera

Teorema lui Morera este o inversare (incompletă) a teoremei integrale a lui Cauchy și este una dintre teoremele fundamentale din teoria funcțiilor unei variabile complexe . Poate fi formulat astfel:

Dacă funcția unei variabile complexe din regiune este continuă și integrala acesteia peste orice contur redresabil închis este egală cu zero, adică $f(z)$ $z$ $D$ $\Gamma \subset D$

\oint \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=0,

atunci este o funcție analitică în . $f(z)$ $D$

Condiția teoremei poate fi slăbită limitându-ne la cerința ca integralele luate de-a lungul graniței oricărui triunghi aparținând regiunii să dispară . $D$

Ideea dovezii

Dovada se bazează pe faptul că o funcție care îndeplinește condițiile teoremei va avea o antiderivată în , adică există o funcție astfel încât $D$ $F(z)$

{\frac {dF(z)}{dz}}=f(z).

Dar o funcție diferențiabilă complex o dată este analitică, deci derivata sa va fi și analitică. $f$

Aplicație

Teorema lui Morera este modalitatea principală de a demonstra analiticitatea unei funcții definite complex. Una dintre afirmațiile centrale aici este că dacă o secvență de funcții analitice converge uniform către o funcție , atunci $f_n$ $f$

\oint \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint f_{n}(z)\,dz=0 ,

prin urmare, după teorema lui Morera, funcția limită va fi și holomorfă. Astfel, holomorfia multor funcții definite prin serii și integrale este dovedită, de exemplu, funcția zeta Riemann

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))}

și funcțiile gamma Euler

\Gamma (\alpha)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}\,dt.

Teorema lui Morera este, de asemenea, folosită pentru a demonstra analiticitatea unei funcții construite pe principiul simetriei .

Istorie

Această teoremă a fost obținută de matematicianul italian Giacinto Morera în 1886 .

Literatură

Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka . - 1969, 577 p.

Link -uri

Weisstein, Teorema lui Eric W. Morera (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .