Teorema Rees-Fischer

Teorema Ries-Fischer este o afirmație de analiză funcțională despre izometria și izomorfismul spațiului Lebesgue și al spațiului Hilbert . $L_{{2}}\stanga(a,b\dreapta)$ $l_{{2}}$

Dovedit în 1907 independent de Frigyes Ries și Ernst Fischer ( Ernst Sigismund Fischer ) .

Dovada

Să luăm în spațiu un sistem ortonormal complet . Apoi, pentru orice avem , și în virtutea egalității lui Parseval . Astfel, succesiunea de coeficienți Fourier ai unei funcții poate fi privită ca un element al unui spațiu Hilbert . În acest caz, corespondența este clară. Fie, dimpotrivă, un element al spațiului Hilbert . Să luăm în considerare în mod formal seria , unde este același sistem ortonormal complet. Secvența sumelor parțiale ale acestei serii converge în medie în sine, deoarece pentru și datorită convergenței seriei . Deoarece spațiul este complet, aceasta înseamnă că seria converge, suma sa are coeficienți Fourier și punem această sumă în corespondență cu elementul . Din nou, corespondența este clară. Deci, am stabilit o corespondență unu-la-unu între elementele spațiale și . Deoarece, evident, și , rezultă din , adică corespondența stabilită de noi este un izomorfism. În fine, pentru oricare două elemente avem, în virtutea egalității Parseval , iar corespondența stabilită de noi va păstra distanța, adică sunt izometrice . $L_{{2}}\stanga(a,b\dreapta)$ $\left\{\varphi _{{i}}(t)\right\}$ $x(t)\în L_{{2}}\stanga(a,b\dreapta)$ $x(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t),\xi _{{i}} =\stanga(x,\varphi _{{i}}\dreapta)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}^{{{2}}=\left\|x\right\|^{{2}}<\infty$ $x(t)\în L_{{2}}\stanga(a,b\dreapta)$ $x\în l_{{2}}$ $l_{{2}}$ $x=\left\{\xi _{{1}},\xi _{{2}},...,\xi _{{n}},...\right\}$ $x(t)\săgeata la dreapta x$ ${\bar {y}}=\left\{\eta _{{1}},\eta _{{2}},...,\eta _{{n}},...\right\}$ $l_{{2}}$ $L_{{2}}\stanga(a,b\dreapta)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\left\{\varphi _{{i}}(t)\right\}$ $s_{{n}}(t)=\sum _{{i=1}}^{{n}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\left\|s_{{n+p}}-s_{{n}}\right\|^{{2}}=\left\|\sum _{{i=n+1}}^{{n +p}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)\right\|^{{2}}=\sum _{{i=n+1}}^{{n +p}}\eta _{{i}}^{{2}}\rightarrow 0$ $n \rightarrow \infty$ $p>0$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}^{{2}}$ $L_{{2}}\stanga(a,b\dreapta)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\eta _{{i}}$ $y(t)\în L_{{2}}\left(a,b\dreapta)$ ${\bar {y}}$ ${\bar {y}}\rightarrow y(t)$ $L_{{2}}\stanga(a,b\dreapta)$ $l_{{2}}$ $x(t)+y(t)=\sum _{{i=1}}^({\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)+\sum _ {{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty } }\left(\xi _{{i}}+\eta _{{i}}\right)\varphi _{{i}}(t)$ $\lambda x(t)=\lambda \sum _{{i=1}}^({\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)=\sum _{ {i=1}}^{{\infty }}\lambda \xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $x(t)\leftrightarrow x,y(t)\leftrightarrow y$ $x(t)+y(t)\leftrightarrow x+y,\lambda x(t)\leftrightarrow \lambda x$ $x(t),y(t)\în L_{{2}}\stânga(a,b\dreapta)$ $\left\|x(t)-y(t)\right\|^{{2}}=\left\|\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\right)\varphi _{{i}}(t)\right\|^{{2}}=\sum _{{i=1}} ^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\right)^{{2}}=\left\|xy\right\|^{{2 }}$ $L_{{2}}\stanga(a,b\dreapta)$ $l_{{2}}$

Literatură

Sobolev VI Prelegeri pe capitole suplimentare de analiză matematică. - M .: Nauka, 1968 - p. 218.