Teorema Sokhotsky-Plemelya

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 30 octombrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Teorema Sochocki-Plemelja (ortografia poloneză Sochocki ) este o teoremă în analiza complexă care ajută la evaluarea integralelor definite. Versiunea de linie reală ( vezi mai jos ) este adesea folosită în fizică, deși rar este menționată după nume. Teorema poartă numele lui Julian Sochocki , care a demonstrat-o în 1868, și Josip Plemelj , care a redescoperit-o ca ingredient principal în soluția sa la problema Riemann-Hilbert în 1908.

Enunțul teoremei

Fie C o curbă simplă închisă netedă în plan și φ o funcție analitică pe C . Apoi integrala de tip Cauchy

{\frac {1}{2\pi i)}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d\zeta }{\zeta -z)),

definește două funcții analitice ale lui z , φ i în interiorul C și φ e în exterior. Formulele Sokhotsky-Plemelj raportează valorile limită ale acestor două funcții analitice în punctul z pe C și valoarea principală Cauchy a integralei: ${\mathcal {P}}$

\phi _{i}(z)={\frac {1}{2\pi i)}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta)d \zeta }{\zeta -z))+{\frac {1}{2))\varphi (z),

\phi _{e}(z)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta)d \zeta }{\zeta -z}}-{\frac {1}{2}}\varphi (z).

Generalizările ulterioare înlătură cerințele de netezime pe curba C și funcția φ .

Versiunea de linie reală

Versiunea acestei teoreme pentru integrale pe linia reală este deosebit de importantă.

Fie ƒ o funcție cu valori complexe care este definită și continuă pe axa reală și fie a și b numere reale astfel încât a < 0 < b . Apoi

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\ mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,

unde denotă valoarea principală Cauchy. ${\mathcal {P}}$

Dovada pentru linia reală

O dovadă simplă este următoarea.

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\ mp i\pi \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2 })}}f(x)\,dx+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2 }+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx.

Pentru primul termen, rețineți că este funcția delta în curs de dezvoltare și, prin urmare, se apropie de funcția delta Dirac în limită. Prin urmare, primul termen este egal cu . ${\tfrac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})))$ $\mp i\pi f(0)$

Pentru al doilea termen, observăm că factorul tinde spre 1 pentru | x | ≫ ε și tinde spre 0 ca | x | ≪ ε, și anume, o funcție simetrică față de 0. Prin urmare, în limită, se obține o integrală în sensul valorii principale a lui Cauchy. ${\tfrac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}$

Aplicații la fizică

În mecanica cuantică și teoria cuantică a câmpurilor , deseori trebuie să evaluăm integralele formei

\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt),

unde E este ceva energie și t este timpul. În această formă, expresia este nedefinită (deoarece integrala de timp nu converge), deci este de obicei modificată prin adăugarea unui coeficient real negativ la t în exponent și apoi împingând acest coeficient la zero:

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E )\exp(-iEt-\varepsilon t)

=-i\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{Ei\varepsilon }}\, dE=\pi f(0)-i{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,

unde teorema lui Sochocki este folosită în ultimul pas.

Vezi și

Operatori integrali singulari pe curbe închise
Relațiile Kramers-Kronig
Hilbert se transformă

Literatură

Weinberg, Steven . Teoria cuantică a câmpurilor, volumul 1 :fundamente . - Cambridge University Press , 1995. - ISBN 0-521-55001-7 . Capitolul 3.1.
Merzbacher, Eugene. Mecanica cuantică (neopr.) . - Wiley, John & Sons, Inc., 1998. - ISBN 0-471-88702-1 . Anexa A, ecuația (A.19).
Henrici, Petru. Analiza complexă aplicată și computațională, voi. 3 (engleză) . — Willey, John & Sons, Inc., 1986.
Plemelj, Josip. Probleme în sensul lui Riemann și Klein . — New York: Interscience Publishers , 1964.
Gakhov, F.D. (1990), Probleme de valoare limită. Retipărire a traducerii din 1966 , Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
Muskhelishvili, N.I. Ecuații integrale singulare, probleme la graniță ale teoriei funcțiilor și aplicarea lor la fizica matematică (engleză) . Melbourne: Departamentul. de aprovizionare și dezvoltare, laboratoare de cercetare aeronautică, 1949.
Blanchard, Bruening: Mathematical Methods in Physics (Birkhauser 2003), Exemplul 3.3.1 4
Sokhotskii, YW Despre integralele definite și funcțiile utilizate în expansiunile în serie (engleză) . -Sf. Petersburg, 1873.