Relațiile Kramers-Kronig

Relațiile Kramers-Kronig sunt o conexiune integrală între părțile reale și imaginare ale oricărei funcții complexe analitice din semiplanul superior. Adesea folosit în fizică pentru a descrie relația dintre părțile reale și imaginare ale funcției de răspuns a unui sistem fizic, deoarece analiticitatea funcției de răspuns implică faptul că sistemul satisface principiul cauzalității și invers [1] . În special, relațiile Kramers-Kronig exprimă relația dintre părțile reale și imaginare ale permitivității în electrodinamica clasică și amplitudinea probabilității de tranziție ( element de matrice ) între două stări în teoria câmpului cuantic . În matematică , relațiile Kramers-Kronig sunt cunoscute ca transformată Hilbert .

Definiție

Pentru o funcție complexă a unei variabile complexe care este analitică în semiplanul superior și tinde spre zero, deoarece relațiile Kramers-Kronig sunt scrise după cum urmează: $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$ $\omega ,$ $\omega$ $|\omega |\rightarrow \infty ,$

\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '

și

\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}{\chi _{1}(\omega ' ) \over \omega '-\omega }\,d\omega ',

unde simbolurile înseamnă luarea integralei în sensul valorii principale (după Cauchy) . Se poate observa că și nu sunt independente, ceea ce înseamnă că funcția completă poate fi restabilită dacă este dată doar partea reală sau imaginară a acesteia. $vp$ $\chi _{1}(\omega )$ $\chi _{2}(\omega )$

Într-o formă mai compactă:

\chi (\omega )={1 \over i\pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega } \,d\omega '.

Concluzie

Fie o funcție continuă a unei variabile complexe . Să estimăm suma integralelor peste contururi puțin deasupra și puțin sub axa reală: $f(x)$ $X$

\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{xi\epsilon }}+\int _{ -\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x+i\epsilon }}\right]=\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\ infty -i\epsilon }^{\infty -i\epsilon }{\frac {f(x'+i\epsilon )dx'}{x'}}+\int _{-\infty +i\epsilon }^ {\infty +i\epsilon }{\frac {f(x'-i\epsilon )dx'}{x'}}\right]=2v.p.\int _{-\infty }^{\infty } {\frac {f(x)}{x}}dx

Să estimăm diferența integralelor peste contururi puțin deasupra și puțin sub axa reală:

\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{xi\epsilon }}-\int _{ -\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x+i\epsilon }}\right]=\oint _{-\infty }^{\infty }{\frac {f( x)}{x}}dx=2\pi if(0)

( formula integrală a lui Cauchy ). Combinând aceste două egalități, găsim

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x\pm i\epsilon }}=vp\int _{-\infty }^{\infty } {\frac {f(x)}{x}}dx\mp i\pi f(0)

Aceasta este teorema Sochocki-Plemelj .

Polarizarea la un moment dat este determinată de valorile câmpului electric numai în momentele anterioare din timp, prin urmare, egalitatea polarizabilității la zero pentru valorile negative ale argumentului ne permite să scriem: $\chi (t)$

\chi _{\omega}=\int _{0}^{\infty}e^{i\omega t}\chi (t)dt

în cazul unei frecvențe complexe, funcția trebuie să fie analitică în semiplanul superior pentru a satisface principiul cauzalității . Dar atunci funcția , unde este reală, este de asemenea analitică în semiplanul superior și orice integrală închisă în acest semiplan este egală cu zero: $\chi (\omega)$ $\chi (\omega ')/(\omega '-\omega )$ $\omega$ $\omega '$

\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '=0

Scriem integrala de-a lungul axei reale folosind teorema Sochocki-Plemei:

0=\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P))\!\!\!\int \limits _{ -\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega ).

apoi

\chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi ( \omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.

Pentru cel complex , scriem părțile reale și imaginare ale ecuației: $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$

\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{ \chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '

și

\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty } {\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',

unde - integrala este luată în sensul valorii principale. Relațiile Kramers-Kronig [2] [3] se obțin . ${\mathcal {P}}$

Relațiile Kramers-Kronig în fizică

Electrodinamică clasică [4] [5]

Un exemplu important de aplicare a relațiilor Kramers-Kronig în fizică este expresia relațiilor de dispersie în electrodinamica clasică . În acest caz , unde este permisivitatea , ω este frecvenţa . $\varepsilon (\omega )=\varepsilon ^{\prime }(\omega )+i\varepsilon ^{{\prime \prime }}(\omega )$ $\varepsilon$

\varepsilon ^{\prime }(\omega )=1+{\frac {1}{\pi }}vp\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{\prime \prime }(x)}{x-\omega }}dx

și

\varepsilon ^{{\prime \prime }}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}vp\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }{\frac { \varepsilon ^{\prime }(x)-1}{x-\omega }}dx.

Părțile reale și imaginare ale permitivității determină indicele de refracție și indicele de absorbție (constante optice) ale unui mediu dat. Astfel, acești indicatori nu sunt independenți unul de celălalt și, în consecință, devine posibil, în principiu, să se calculeze spectrul celuilalt din spectrul uneia dintre constantele optice fără a recurge la măsurători directe ale acesteia din urmă. Într-un număr de cazuri, acest lucru face posibilă reducerea cantității de informații obținute experimental necesare pentru a determina constantele optice, de exemplu, în regiunea benzilor intense de absorbție a mediului condensat. Fezabilitatea relațiilor Kramers-Kronig a fost testată în mod repetat experimental pentru diverse medii în diferite stări de agregare și la diferite temperaturi (cristale, lichide, soluții) [6] [7] .

Teoria câmpului cuantic

În teoria cuantică a câmpului, la studierea proceselor de împrăștiere, amplitudinile probabilităților de tranziție, considerate ca funcții complexe ale energiei totale a sistemului, impulsului transferat etc., satisfac relațiile de dispersie [3] . Acest lucru facilitează foarte mult studiul acestor fenomene.

Istorie

Relațiile Kramers-Kronig au fost stabilite în 1926-1927. Ralph Kronig [8] și Hendrik Kramers [9] și poartă numele lor.

Note

↑ John S. Toll, Cauzalitate și relația de dispersie: Fundamente logice , Physical Review, vol. 104 , pp. 1760-1770 (1956).
↑ Jackson. „Electrodinamică clasică”. Moscova, Mir, 1965. (Eng: Jackson J. Electrodinamică clasică. — New York: Wiley, 1998
↑ 1 2 Nishijima, 1965 , p. 153.
↑ Martin P. Reguli de sumă Kramers – Relații Kronig și coeficienți de transport în sistemele încărcate // Phys. Rev. . - 1967. - T. 161 . - S. 143 .
↑ Agranovich V. M., Ginzburg V. L. Crystal optics with allowance for spatial dispersion and exciton theory. - M. , 1979.
↑ Alperovich L. I., Bakhshiev N. G., Zabiyakin Yu. E., Libov V. S. Relații Kramers-Kronig pentru spectrele moleculare ale lichidelor și soluțiilor // Optics and Spectroscopy . - 1968. - T. 24 . - S. 60-63 .
↑ Zabiyakin Yu. E. Verificarea relațiilor de dispersie Kramers-Kronig într-un interval larg de temperatură // Optics and Spectroscopy . - 1968. - T. 24 . - S. 828-829 .
↑ R. de L. Kronig, Despre teoria dispersiei razelor X, J. Opt. soc. Am., voi. 12 , pp. 547-557 (1926).
↑ H.A. Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Intern. Fisica, (Tranzacțiile Congresului Centenarului Voltei) Como, vol. 2 , p. 545-557 (1927).

Literatură

Matthews J., Walker R. Metode matematice în fizică / Per. din engleza. — M.: Atomizdat , 1972. — 392 p.
Barton G. Metode de dispersie în teoria câmpului / Per. din engleza. - M., 1968.
Nishijima K. Particule fundamentale. - M . : Mir, 1965. - 462 p.