Teorema lui Stewart

Teorema lui Stewart este o teoremă metrică în planimetria euclidiană .

Ea afirmă că, dacă un punct se află pe o latură a unui triunghi , atunci $D$ $î.Hr$ $ABC$

AD^{2}=p^{2}=b^{2}{\frac {x}{a}}+c^{2}{\frac {y}{a}}-{xy} ,

unde , și (Fig. 1). Segmentul AD se numește ceviana triunghiului ABC . $y=CD$ $x=BD$ $a=x+y=BC$

Dovezi

Prin produsul vectorilor

Una dintre dovezile teoremei se bazează pe aplicarea algebrei vectoriale și, în special, pe proprietățile produsului interior [1] . Să reprezentăm un vector a cărui lungime se dorește, în două moduri: ${\overrightarrow {AD)),$

{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}},\quad {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CD } }}.

Înmulțiți prima ecuație cu lungimea și a doua cu $CD$ $BD\colon$

{\overrightarrow {AD}}\cdot CD={\overrightarrow {AB}}\cdot CD+{\overrightarrow {BD}}\cdot CD,

{\overrightarrow {AD}}\cdot BD={\overrightarrow {AC}}\cdot BD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD.

Acum să adăugăm ecuațiile rezultate:

{\overrightarrow {AD}}\cdot BC=({\overrightarrow {AB}}\cdot CD~{\color {Roșu}+~{\overrightarrow {BD}}\cdot CD})+({\ overrightarrow {AC}}\cdot BD~{\color {Roșu}+~{\overrightarrow {CD}}\cdot BD}),

unde din moment ce și au lungimi egale și sunt opuse. Prin urmare, vectorul în sine este ${\overrightarrow {BD}}\cdot CD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD=0,$ ${\overrightarrow {BD}}\cdot CD$ ${\overrightarrow {CD}}\cdot BD$ ${\overrightarrow {AD}}$

{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}{\frac {CD}{BC}}+{\overrightarrow {AC}}{\frac {BD}{BC}}.

Lungimea sa poate fi obținută folosind produsul scalar al unui vector cu el însuși: ${\overrightarrow {AD}}$

\left({\overrightarrow {AD}}\right)^{2}=\left({\overrightarrow {AB}}\right)^{2}\left({\frac {CD}{BC} }\right)^{2}+\left({\overrightarrow {AC}}\right)^{2}\left({\frac {BD}{BC}}\right)^{2}+{\color {Verde}2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}\cdot {\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD}{BC}}.

Mai mult, pentru a exprima în termeni de lungimi, trebuie să găsim $2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}$ $({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})^{2}\colon$

{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}},

BC^{2}=AC^{2}-2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+AB^{2},

2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}.

Din aceasta rezultă în cele din urmă că

AD^{2}=AB^{2}{\frac {CD^{2}}{BC^{2}}}+AC^{2}{\frac {BD^{2}}{BC ^{2}}}+({\color {Verde}AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}}){\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD }{BC}},

$AD^{2}=AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-CD\cdot BD.$

Prin teorema cosinusului

Exprimăm AB și AC în termeni de laturile rămase ale triunghiurilor ABC și ACD și în termeni de unghiuri și adiacente unul altuia: $\angle ADB$ $\angle ADC,$

AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2AD\cdot BD\cos \angle ADB,

{\begin{alignedat}{2}AC^{2}&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Verde}-}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{ \color {Verde}C}=\\&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Verde}+}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{\color {Verde}B} .\\\end{alignedat}}

Înmulțiți prima ecuație cu și a doua cu $DC$ $BD\colon$

{\begin{cases}AB^{2}DC=BD^{2}DC+AD^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \angle ADB,\\AC^{2} BD=AD^{2}BD+DC^{2}BD+2AD\cdot DC\cdot BD\cos \angle ADB,\end{cases}}

Pentru a scăpa de cosinusul unghiului ABD , adăugăm aceste egalități:

AB^{2}DC+AC^{2}BD=(BD^{2}DC+AD^{2}DC)+(AD^{2}BD+DC^{2}BD),

AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD^{2}DC-DC^{2}BD=AD^{2}(DC+BD),

AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD\cdot DC(BD+DC)=AD^{2}(DC+BD),

$AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-BD\cdot CD=AD^{2}.$

Istorie

Teorema poartă numele matematicianului englez M. Stewart, care a demonstrat-o și a publicat-o în lucrarea Some General Theorems (1746, Edinburgh). Teorema a fost raportată lui Stuart de profesorul său R. Simson , care a publicat această teoremă abia în 1749.

Aplicație

Teorema poate fi folosită pentru a găsi medianele și bisectoarele triunghiurilor, iar un caz special al teoremei lui Stewart, când ceviana degenerează la mediană , este teorema lui Apollonius .
O consecință a teoremei lui Stewart este și teorema lui Ptolemeu .[ clarifica ]

Generalizare

Teorema lui Stewart este generalizată la egalitatea lui Bretschneider pentru un patrulater: dacă un vârf al patrulaterului cade pe partea pătraunghiului, atunci teorema lui Stewart decurge din teorema lui Bretschneider .

Note

↑ Pogorelov A. V. Geometrie. - M . : Nauka , 1983. - S. 30-31. — 288 p.

Literatură

L. S. Atanasyan , V. F. Butozov, S. B. Kadomtsev, I. I. Yudina Geometrie. Capitole suplimentare pentru manualul de nota 9. a 4-a ed. Editura Vita-Press, 2004. p. 53.
V. F. Butozov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak , S. A. Shestakov , I. I. Yudina Geometrie. Un manual pentru studiul aprofundat al matematicii. Editura FIZMATLIT, 2005. 488 p. pp. 302-303.
Manturov O. V. , Solntsev Yu. K. Dicționar explicativ al termenilor matematici. Un ghid pentru profesori. Sub redactia lui Ditkin V. A. M .: Education, 1965. 540 p.
Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 volume - M . : MTSNMO , 2004. - S. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0 .