Teorema lui Apollonius

În planimetrie , teorema lui Apollonius este o formulă care exprimă lungimea medianei unui triunghi în funcție de laturile sale. În special, dacă într-un triunghi ABC mediana este AD , atunci

Acesta este un caz special al teoremei lui Stewart . Pentru un triunghi isoscel, teorema se reduce la teorema lui Pitagora . Din faptul că diagonalele unui paralelogram se bisectează între ele, se poate dovedi că teorema este echivalentă cu identitatea paralelogramului .

Teorema este numită după Apollonius din Perga .

Dovada

Teorema poate fi demonstrată ca un caz special al teoremei lui Stewart sau folosind vectori (vezi identitatea paralelogramului ). Următoarea este o demonstrație independentă folosind teorema cosinusului [1] .

Fie laturile triunghiului a , b , c și mediana d să fie trase pe latura a a triunghiului. Fie m  lungimea segmentelor a formate de mediană, adică m este jumătate din a . Fie unghiurile dintre a și d  θ și θ′, unde θ conține b și θ′ conține c . Atunci, θ′ este unghiul adiacent lui θ și cos θ′ = −cos θ. Teorema cosinusului pentru θ și θ′ spune:

Adăugând aceste ecuații, obținem

după cum este necesar.

Vezi și

Note

  1. ↑ Potrivit lui Godfrey & Siddons, 1908

Surse