Inegalitatea lui Ptolemeu

Inegalitatea lui Ptolemeu este o inegalitate pentru 6 distanțe între patru puncte dintr-un plan.

Numit după matematicianul elenist Claudius Ptolemeu .

Formulare

Pentru orice punct al planului, inegalitatea $A,B,C,D$

AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD,

în plus, egalitatea se realizează dacă și numai dacă este un patrulater înscris convex sau punctele se află pe o singură dreaptă. $ABCD$ $A,B,C,D$

O versiune a demonstrației inegalității se bazează pe utilizarea inversării în jurul unui cerc centrat în punct ; aceasta reduce inegalitatea lui Ptolemeu la inegalitatea triunghiulară pentru imaginile punctelor , , . [unu] $A$ $B$ $C$ $D$
Există o modalitate de a demonstra acest lucru folosind linia lui Simson .
Teorema lui Ptolemeu poate fi demonstrată în felul următor (aproape de demonstrația lui Ptolemeu însuși, dată de acesta în cartea Almagest ) - introduceți un punct astfel încât , iar apoi prin asemănarea triunghiurilor . $E$ $\angle ABE=\angle DBC$
Teorema este, de asemenea, o consecință a relației lui Bretschneider .

teorema lui Pompei . [2] Se consideră un punctși un triunghi regulat . Apoi din segmentele,șieste posibil să se facă un triunghi, iar acest triunghi este degenerat dacă și numai dacă punctulse află pe cercul circumscris triunghiului. $X$ $ABC$ $XA$ $XB$ $XC$ $X$ $ABC$

Dacă AC este diametrul cercului, atunci teorema se transformă în regula sumei sinusurilor . Aceasta a fost consecința pe care Ptolemeu obișnuia să întocmească un tabel cu sinusuri.

Raportul Bretschneider
Inegalitățile lui Ptolemeu pot fi extinse la șase puncte: dacă punctele arbitrare ale planului (această generalizare se numește teorema lui Ptolemeu pentru un hexagon , iar în literatura străină teorema lui Fuhrmann [3] ), atunci $A_{1},A_{2},\puncte A_{6}$

A_{1}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{3}A_{6}\leq A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{6 }\cdot A_{4}A_{5}+A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+

+A_{2}A_{3}\cdot A_{1}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5 }\cdot A_{1}A_{6}+A_{3}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{1}A_{6},

unde egalitatea este atinsă dacă și numai dacă este un hexagon înscris.

A_{1}\dots A_{6}

Teorema lui Casey ( teorema generalizată a lui Ptolemeu ): Luați în considerare cercurișila un cerc dat la vârfurișipatrulater convex. Fie lungimea tangentei comune la cercurileși(extern, dacă ambele atingeri sunt interne sau externe în același timp, și interne, dacă o atingere este internă și cealaltă este externă); etc sunt definite în mod similar. Apoi $\alpha ,\beta ,\gamma$ $\delta$ $A,B,C$ $D$ $ABCD$ $t_{{\alpha \beta }}$ $\alfa$ $\beta$ $t_{{\beta \gamma }},t_{{\gamma \delta }}$

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

↑ O dovadă a teoremei lui Ptolemeu folosind inversarea Arhivat 26 mai 2009 la Wayback Machine . Punct de consultare la distanță pentru matematică MCNMO .
↑ Despre teorema lui D. Pompeiu Arhivat 17 decembrie 2004 la Wayback Machine . Punct de consultare la distanță pentru matematică MCNMO .
↑ Teorema lui Ptolemeu . Consultat la 17 mai 2011. Arhivat din original pe 26 mai 2009. (nedefinit)
↑ Howorka, Edward (1981), A characterization of Ptolemaic graphs , Journal of Graph Theory vol. 5 (3): 323–331 , DOI 10.1002/jgt.3190050314 .

Curs optional de matematica. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M . : Educaţie , 1991. - S. 328-329. — 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .
Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 volume - M . : MTSNMO , 2004. - S. 61-63. — ISBN 5-94057-170-0 .