Inegalitatea lui Ptolemeu
Inegalitatea lui Ptolemeu este o inegalitate pentru 6 distanțe între patru puncte dintr-un plan.
Numit după matematicianul elenist Claudius Ptolemeu .
Formulare
Pentru orice punct al planului, inegalitatea
în plus, egalitatea se realizează dacă și numai dacă este un patrulater înscris convex sau punctele se află pe o singură dreaptă.
Note
- Cazul egalității este numit și identitatea lui Ptolemeu .
Despre dovezi
- O versiune a demonstrației inegalității se bazează pe utilizarea inversării în jurul unui cerc centrat în punct ; aceasta reduce inegalitatea lui Ptolemeu la inegalitatea triunghiulară pentru imaginile punctelor , , . [unu]
- Există o modalitate de a demonstra acest lucru folosind linia lui Simson .
- Teorema lui Ptolemeu poate fi demonstrată în felul următor (aproape de demonstrația lui Ptolemeu însuși, dată de acesta în cartea Almagest ) - introduceți un punct astfel încât , iar apoi prin asemănarea triunghiurilor .
- Teorema este, de asemenea, o consecință a relației lui Bretschneider .
Consecințele
- Dacă AC este diametrul cercului, atunci teorema se transformă în regula sumei sinusurilor . Aceasta a fost consecința pe care Ptolemeu obișnuia să întocmească un tabel cu sinusuri.
Variații și generalizări
- Raportul Bretschneider
- Inegalitățile lui Ptolemeu pot fi extinse la șase puncte: dacă punctele arbitrare ale planului (această generalizare se numește teorema lui Ptolemeu pentru un hexagon , iar în literatura străină teorema lui Fuhrmann [3] ), atunci
unde egalitatea este atinsă dacă și numai dacă este un hexagon înscris.
- Teorema lui Casey ( teorema generalizată a lui Ptolemeu ): Luați în considerare cercurișila un cerc dat la vârfurișipatrulater convex. Fie lungimea tangentei comune la cercurileși(extern, dacă ambele atingeri sunt interne sau externe în același timp, și interne, dacă o atingere este internă și cealaltă este externă); etc sunt definite în mod similar. Apoi
.
Vezi și
Note
- ↑ O dovadă a teoremei lui Ptolemeu folosind inversarea Arhivat 26 mai 2009 la Wayback Machine . Punct de consultare la distanță pentru matematică MCNMO .
- ↑ Despre teorema lui D. Pompeiu Arhivat 17 decembrie 2004 la Wayback Machine . Punct de consultare la distanță pentru matematică MCNMO .
- ↑ Teorema lui Ptolemeu . Consultat la 17 mai 2011. Arhivat din original pe 26 mai 2009. (nedefinit)
- ↑ Howorka, Edward (1981), A characterization of Ptolemaic graphs , Journal of Graph Theory vol. 5 (3): 323–331 , DOI 10.1002/jgt.3190050314 .
Literatură
- Curs optional de matematica. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M . : Educaţie , 1991. - S. 328-329. — 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .
- Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 volume - M . : MTSNMO , 2004. - S. 61-63. — ISBN 5-94057-170-0 .