Teorema celor doi polițiști

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 2 ianuarie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Teorema celor doi polițiști este o teoremă în analiza matematică privind existența unei limite pentru o funcție care este „sandwich” între alte două funcții care au aceeași limită. Formulat astfel:

Dacă funcția este de așa natură încât pentru toate din apropierea punctului , iar funcțiile și au aceeași limită la , atunci există o limită a funcției la , egală cu aceeași valoare, adică $y=f(x)$ $\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)$ $X$ $A$ $\varphi(x)$ $\psi(x)$ $x\la a$ $y=f(x)$ $x\la a$

\lim _{{x\to a}}\varphi (x)=\lim _{{x\to a}}\psi (x)=A\Rightarrow \lim _{{x\to a}}f( x)=A.

De asemenea, acest nume are o teoremă similară a limitei secvenței , formulată după cum urmează:

Dacă secvența este astfel încât pentru toate , și secvențele și au aceeași limită la , atunci există o limită a șirului la , egală cu aceeași valoare, adică $un$ $b_{n}\leqslant a_{n}\leqslant c_{n}$ $n$ $b_n$ $c_n$ $n\la\infty$ $un$ $n\la\infty$

\lim _{{n\to \infty }}b_{n}=\lim _{{n\to \infty }}c_{n}=A\Rightarrow \lim _{{n\to \infty }}a_ {n}=A.

Dovada

Din inegalitate obținem inegalitatea . Condiția ne permite să spunem că pentru orice există un cartier în care inegalitățile și sunt adevărate . Din inegalitățile de mai sus rezultă că pentru , care satisface definiția limitei , adică [1] . $\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)$ $\varphi (x)-A\leqslant f(x)-A\leqslant \psi (x)-A$ $\lim \limits _{{x\to a}}\varphi (x)=A=\lim \limits _{{x\to a}}\psi (x)$ $\varepsilon >0$ $U_{a}$ $\left|\varphi(x)-A\right|<\varepsilon$ $\left|\psi (x)-A\right|<\varepsilon$ $\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$ $x\în U_{a}$ $\lim \limits _{{x\to a}}f(x)=A$

Titlul și terminologia străină

Denumirea teoremei vine de la faptul că, dacă doi polițiști conduc un deținut la secția de poliție sub brațe, atunci acesta este obligat să meargă cu ei.

În diferite țări, această teoremă este numită diferit. Teorema contracției, teorema funcției intermediare, teorema doi carabinieri , teorema sandvișului (sau regula sandwich), teorema celor trei șiruri, teorema doi jandarmi , teorema doi polițiști etc.

Vezi și

Note

↑ Demidovich B.P. , Kudryavtsev V.A. Un scurt curs de matematică superioară. — M .: AST ; Astrel, 2007. - S. 121-122. - ISBN 978-5-17-004601-0 . - ISBN 978-5-271-01318-8 . - ISBN 978-985-16-4561-5 .

Link -uri

Discuție asupra numelui teoremei în diferite țări