Teorema de divizare

Teorema de divizare este o teoremă clasică în geometria riemanniană .

Formulare

Să presupunem că într-o varietate riemanniană completă cu curbură Ricci nenegativă există o linie, adică o geodezică , astfel încât $M$ $\gamma \colon \mathbb {R} \to M$

d(\gamma (u),\gamma (v))=|uv|

pentru toți

u,v\in \mathbb {R} .

Apoi izometric față de produs $M$

\mathbb {R} \times L,

unde este o varietate Riemanniană cu curbură Ricci nenegativă. $L$

Mai mult, se poate demonstra că pentru unii . $\gamma (t)=(t,x)$ $x\in L$

Istorie

Pentru suprafețe, teorema a fost demonstrată de Cohn-Vossen . [1] Toponogov l-a generalizat la varietăți cu curbură secțională nenegativă. [2] Cheeger și Gromall au demonstrat că non-negativitatea curburii Ricci este o condiție suficientă. [3]

Mai târziu, o teoremă similară a fost demonstrată pentru varietatile lorentziane cu curbură Ricci nenegativă în direcții asemănătoare timpului. [4] [5] [6]

Link -uri

↑ S. Cohn-Vossen, „Totalkrümmung und geodätische Linien auf einfachzusammenhängenden offenen vollständigen Flächenstücken”, Matem. Sat., 1(43):2 (1936), 139–164; Traducere în rusă de A.S. Solodovnikov, „Curbura totală și geodezică pe suprafețe complete deschise simple conectate”, p. 249-287 în cartea S.E.Cohn-Fossen.Câteva întrebări de geometrie diferenţială în general. - Editura de Stat de Literatură Fizică și Matematică, 1959. - 303 p.
↑ Toponogov, VA spații riemanniene care conțin linii drepte.
↑ Jeff Cheeger; Detlef Gromoll, Teorema de divizare pentru varietăți de curbură Ricci nenegativă , Journal of Differential Geometry 6 (1971/72), 119–128.
↑ Eschenburg, J.-H. Teorema de divizare pentru spațiu-timp cu condiții de energie puternică.
↑ Galloway, Gregory J. (1-MIAM) Teorema de divizare lorentziană fără presupunerea completității.
↑ Newman, Richard PAC O dovadă a conjecturei de scindare a lui S.-T. Yau.