Teorema trei perpendiculare

Teorema celor trei perpendiculare este o teoremă fundamentală a stereometriei . [unu]

Formulare

O linie dreaptă trasată într-un plan prin baza uneia înclinate, perpendiculară pe proiecția sa pe acest plan, este și ea perpendiculară pe cea înclinată în sine.

Dovada

Fie o perpendiculară pe plan , să fie o linie oblică și să fie o dreaptă în planul care trece prin punctul și perpendiculară pe proiecția . Desenați o dreaptă paralelă cu dreapta . Linia este perpendiculară pe plan (deoarece este paralelă ) și, prin urmare, orice dreaptă a acestui plan este perpendiculară pe dreapta . Să desenăm prin linii paralele și un plan (liniile paralele definesc un plan și doar unul). Linia este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate în plan , aceasta este prin condiție și prin construcție, ceea ce înseamnă că este perpendiculară pe orice dreaptă aparținând acestui plan, ceea ce înseamnă că este și perpendiculară pe dreapta . $AB$ $\alfa$ $AC$ $c$ $\alfa$ $C$ $î.Hr$ $CK$ $AB$ $CK$ $\alfa$ $AB$ $CK$ $c$ $AB$ $CK$ $\beta$ $c$ $\beta$ $î.Hr$ $CK$ $AC$

Teoremă inversă teoremei pe trei perpendiculare

Dacă o dreaptă trasată într-un plan prin baza unei linii înclinate este perpendiculară pe linia înclinată însăși, atunci este și perpendiculară pe proiecția acesteia.

Dovada

Fie AB perpendiculara pe planul α , AC oblic și c dreapta în planul α care trece prin baza oblicului C. Desenați o dreaptă SK paralelă cu dreapta AB . Linia SC este perpendiculară pe planul α (conform acestei teoreme, deoarece este paralelă cu AB ), și deci pe orice dreaptă a acestui plan, prin urmare, SC este perpendiculară pe dreapta c . Să desenăm un plan β prin drepte paralele AB și SC (dreptele paralele definesc un plan și doar unul). Linia c este perpendiculară pe două drepte situate în planul β , aceasta este AC după condiție și SC , ceea ce înseamnă că este perpendiculară pe orice dreaptă aparținând acestui plan, ceea ce înseamnă că este și perpendiculară pe dreapta BC . Cu alte cuvinte, proiecția BC este perpendiculară pe dreapta c situată în planul α .

Exemplu de utilizare

Demonstrați că prin orice punct al unei linii din spațiu este posibil să se tragă o dreaptă perpendiculară pe acesta.

Soluție

Soluție: Fie a o dreaptă și A un punct pe ea. Luați orice punct X din afara dreptei a și trageți prin acest punct și dreapta a planul α . În planul α prin punctul A , puteți desena o dreaptă bperpendiculară pe a .

Note

↑ Vezi, de exemplu , Geometrie conform lui Kiselyov Arhivat la 1 martie 2021 la Wayback Machine , §302 .

Link -uri

Sarcini de referință