Teorema circulației câmpului magnetic

Teorema circulației câmpului magnetic este una dintre teoremele fundamentale ale electrodinamicii clasice , formulată de André Marie Ampère . în 1826 . În 1861, James Maxwell a derivat din nou această teoremă, bazată pe analogii cu hidrodinamica , și a generalizat-o ( vezi mai jos ). Ecuația, care este conținutul teoremei în această formă generalizată, este printre ecuațiile lui Maxwell . (Pentru cazul câmpurilor electrice constante - adică în principiu în magnetostatică - teorema este adevărată în forma sa originală, formulată de Ampère și prezentată mai întâi în articol; pentru cazul general, partea dreaptă ar trebui completată cu un termen cu derivata intensității câmpului electric în raport cu timpul - vezi mai jos). Teorema spune [1] :

Circulația câmpului magnetic al curenților continui în orice circuit închis este proporțională cu suma intensităților curenților care pătrund în circuitul de circulație.

Această teoremă, mai ales în literatura străină sau tradusă, este numită și teorema lui Ampère sau legea circuitală a lui Ampère. Ultimul nume implică luarea în considerare a legii Ampere ca o afirmație mai fundamentală decât legea Biot-Savart-Laplace , care, la rândul său, este deja considerată o consecință (care, în general, corespunde versiunii moderne a construcției electrodinamicii).

Pentru cazul general al electrodinamicii (clasice), formula trebuie completată în partea dreaptă cu un termen care conține derivata în timp a câmpului electric (vezi ecuațiile lui Maxwell , precum și paragraful „ Generalizare ” de mai jos). În această formă augmentată, este a patra ecuație Maxwell în formă integrală.

Formulare matematică

În formularea matematică pentru magnetostatică , teorema are următoarea formă [ 2] [1] [3] :

\oint {\vec B}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec j}\cdot {\vec {ds}}

Aici este vectorul de inducție magnetică , este densitatea curentului ; integrarea în stânga se realizează pe un contur închis arbitrar, în dreapta, pe o suprafață arbitrară parcursă de acest contur. Această formă se numește integrală, deoarece conține în mod explicit integrarea . Teorema poate fi prezentată și sub formă diferențială [4] : ${\vec {B}}$ $\vec j$

{\mathrm {putrecerea}}\ {\vec B}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}

Echivalența formelor integrale și diferențiale rezultă din teorema Stokes [5] .

Formularul de mai sus este valabil pentru un vid. Dacă se aplică într-un mediu (substanță), va fi corect doar dacă prin j înțelegem toți curenții în general, adică luăm în considerare curenții „microscopici” care curg în substanță, inclusiv curenții „microscopici” care curg. în zone cu dimensiuni de ordinul mărimii moleculelor (vezi diamagneți ) și momente magnetice ale microparticulelor (vezi de exemplu feromagneți ).

Prin urmare, într-o substanță, dacă proprietățile ei magnetice nu sunt neglijate, este adesea convenabil să izolați curentul de magnetizare de curentul total (vezi curenți cuplati ), exprimându-l în termeni de valoare de magnetizare și introducând vectorul intensității câmpului magnetic . $eu$

{\vec H}={\vec B}-4\pi {\vec I}

Atunci teorema circulației poate fi scrisă sub forma [6]

\oint {\vec H}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec j}_{f}\cdot {\vec {ds}}

{\mathrm {putrecerea}}\ {\vec H}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}_{f},

unde sub (spre deosebire de formula de mai sus) ne referim la așa-numitul. curenți liberi în care este exclus curentul de magnetizare (ceea ce este convenabil în practică, întrucât aceștia sunt de obicei deja în esență curenți macroscopici care nu au legătură cu magnetizarea substanței și care, în principiu, sunt ușor de măsurat direct) [7] . ${\vec j}_{f}$ $\vec j$ ${\vec j}_{f}$

În cazul dinamic - adică în cazul general al electrodinamicii clasice - când câmpurile se schimbă în timp (și polarizarea lor se schimbă și în medii) - și atunci vorbim de o teoremă generalizată care include - toate cele de mai sus se aplică la curenții microscopici cuplati cu modificări de polarizare a dielectricului. Această parte a curenților este apoi luată în considerare în termenul . $d{\vec E}/dt$ $d{\vec D}/dt$

Generalizare

Principala generalizare fundamentală [8] a teoremei este a patra ecuație Maxwell . În formă integrală, este o generalizare directă la cazul dinamic al formulei magnetostatice prezentate mai sus. Pentru vid [9] :

\oint {\vec B}\cdot {\vec {dl}}={\frac {1}{c}}\int (4\pi {\vec j}+{\frac {\partial {\vec E} }{\partial t)))\cdot {\vec {ds))

pentru mediu [10] :

\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec j}\cdot {\vec {ds}}+{\ frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.

(După cum puteți vedea, formulele diferă de cele date mai sus doar printr-un singur termen suplimentar cu rata de modificare a câmpului electric în partea dreaptă).

Forma diferențială a acestei ecuații este:

{\mathbf {rot}}{\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial } {\partial t}}{\vec {E}},

{\mathbf {rot}}{\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial } {\partial t}}{\vec {D}}

(în sistemul gaussian, pentru vid, respectiv mediu) - poate fi considerată, dacă se dorește, și o variantă a generalizării teoremei de circulație a câmpului magnetic, întrucât, desigur, este strâns legată de cea integrală.

Valoare practică

Teorema circulației joacă aproximativ același rol în magnetostatică ca și teorema lui Gauss în electrostatică . În special, în prezența unei anumite simetrii a problemei, vă permite să găsiți pur și simplu mărimea câmpului magnetic în întreg spațiul pentru curenți dați [1] . De exemplu, pentru a calcula câmpul magnetic dintr-un conductor rectiliniu infinit cu curent conform legii Biot-Savart-Laplace, va fi necesar să se calculeze o integrală neevidentă, în timp ce teorema circulației (ținând cont de simetria axială a problemei) vă permite să oferiți un răspuns instantaneu:

B(r)\cdot 2\pi r={\frac {4\pi }{c}}I\la B(r)={\frac {2I}{cr))

Dovada teoremei circulației

Dacă teorema de circulație a câmpului magnetic nu este acceptată ca axiomă, atunci poate fi dovedită folosind legea Biot-Savart-Laplace . Considerăm un câmp magnetic creat într-un punct de un fir infinit cu un curent dat în spațiul curbei C. Conform legii Biot-Savart-Laplace, elementul curent al firului, dat de vectorul rază , creează un element elementar . câmp în punctul . ${\vec {p}}=(x_{0};y_{0};z_{0})$ ${\vec {r))$ ${\vec p}$ $\mathrm {d} {\vec {B}}({\vec {p}})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[\mathrm {d} { \vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}} }$

Inductia totala a campului magnetic intr-un punct se obtine prin integrarea campului elementar pe intreaga curba C in directia curgerii curentului: ${\vec p}$

${\vec {B)}({\vec {p)}}={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\mathbb {C} }{\frac {I [\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]}{|{\vec {p}}-{\vec {r} }|^{3}}}$

Trebuie remarcat imediat că integrala rezultată nu aparține niciunuia dintre cele două tipuri de integrale curbilinii . După cum puteți vedea, definește o mărime vectorială, în timp ce orice integrală curbilinie este o mărime scalară. Dar să presupunem că poate fi încă calculat într-un fel (de exemplu, integrând separat fiecare componentă a vectorului). Apoi găsim circulația vectorului de inducție obținut de-a lungul unui circuit închis Г, îmbrățișând firul cu curent.

Prin definiție, circulația unei funcții vectoriale este o integrală curbilinie a celui de-al doilea tip al acestei funcții de-a lungul unui contur închis în direcția pozitivă în jurul acestei curbe. Vom considera direcția pozitivă a normalei la suprafața acoperită de contur ca fiind direcția care formează un unghi ascuțit cu axa z. Apoi, direcția pozitivă de ocolire a conturului este determinată de regula brațului (șurubul din dreapta) în raport cu normala pozitivă. De asemenea, vom considera pozitiv curentul care circulă în direcția normalei pozitive a circuitului care înglobează curentul.

Circulația va arăta astfel:

$\Gamma =\oint _{\Gamma }{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}=\oint _{\Gamma }{\mu _{0}I \over 4\pi }\int \limits _{\mathbb {C} }{\frac {[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec { r)))]}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}$

Se poate observa că sub semnele integralelor a apărut un produs mixt de vectori , care, prin proprietatea simetriei oblice, se poate scrie după cum urmează: $[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]\cdot \mathrm {d} {\vec {p}} =(\mathrm {d} {\vec {p)),\mathrm {d} {\vec {r)),({\vec {p))-{\vec {r))))$

$[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]\cdot \mathrm {d} {\vec {p}} =(\mathrm {d} {\vec {p}},\mathrm {d} {\vec {r}},({\vec {p}}-{\vec {r}}))=(({ \vec {p}}-{\vec {r}}),\mathrm {d} {\vec {p}},\mathrm {d} {\vec {r}})=[\mathrm {d} { \vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]\cdot ({\vec {p}}-{\vec {r}})$

Apoi circulația va lua forma:

$\Gamma ={\mu _{0}I \over 4\pi }\oint _{\Gamma }\int \limits _{\mathbb {C} }({\vec {p))-{\ vec {r)))\cdot {\frac {[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]}{|{\vec {p}} -{\vec {r}}|^{3}}}$

Trebuie să acordați atenție produsului încrucișat : valoarea sa este egală cu aria paralelogramului construit pe acești vectori, iar direcția este perpendiculară pe acest paralelogram. Apoi, acest produs vectorial poate fi considerat o zonă vectorială elementară a suprafeței, care este măturată de vector în timpul integrării duble curbilinii, iar unghiul dintre și , după cum puteți vedea, este acut. Această suprafață este o suprafață cilindrică care înconjoară un fir cu curent, iar secțiunea transversală a acesteia este bucla de circulație Г. Atunci integrala curbilinie dublă poate fi înlocuită cu o integrală de suprafață de al doilea fel peste această suprafață. $[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$ $\mathrm {d} {\vec {S}}=[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$ $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $\mathrm {d} {\vec {S}}$

Apoi circulația va lua forma:

$\Gamma ={\mu _{0}I \over 4\pi }\int \!\!\!\int _{S}({\vec {p}}-{\vec {r}} )\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {S}}}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}$

Dacă luăm în considerare suprafața de integrare ca o suprafață contractantă, este ușor de observat că integrala de suprafață este unghiul solid pentru suprafața dată. Suprafața de integrare poate fi considerată condiționat închisă la infinit. Și apoi, deoarece vectorul în timpul integrării este întotdeauna în interiorul suprafeței, unghiul solid este plin, adică egal cu steradianii. Și atunci circulația este . $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $4\pi$ $\Gamma ={\mu _{0}I \over 4\pi }4\pi =\mu _{0}I$

Dacă conturul Г nu acoperă firul, atunci vectorul în timpul integrării nu ar fi niciodată complet în interiorul suprafeței de integrare. În acest caz, unghiul solid ar fi egal cu zero, precum și circulația câmpului: . $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $\Gamma =0$

Ultimele două afirmații despre unghiul solid sunt în esență conținutul teoremei Gauss asupra fluxului vectorului de intensitate a sarcinii printr-o suprafață închisă arbitrară și pot fi demonstrate independent.

Dacă curentul ar curge în sens opus, unghiul dintre vectori și ar fi deja obtuz (normalul ar fi îndreptat în interiorul suprafeței), iar circulația și-ar schimba semnul în sens opus, ceea ce este echivalent cu fluxul de curent în aceeași direcție, dar cu o forță negativă. $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$

În cazul unui câmp creat de mai mulți conductori cu curent, trebuie reținută proprietatea suprapunerii câmpului magnetic și proprietatea de aditivitate a integralei curbilinii: circulația suprapunerii vectorilor este egală cu suma scalară a circulațiilor. a acestor vectori.

Note

↑ 1 2 3 Sivukhin D.V. Curs general de fizică. - M . : Nauka , 1977. - T. III. Electricitate. - S. 235. - 688 p.
↑ Dat aici în unități gaussiene ; în sistemul SI, constanta din partea dreaptă este în schimb scrisă ca . ${\frac {4\pi }{c}}$ $\mu_{0}$
↑ aici și dedesubt se folosește sistemul CGS , nu există coeficienți în sistemul SI
↑ Sivukhin D.V. Curs general de fizică. - M . : Nauka , 1977. - T. III. Electricitate. - S. 239. - 688 p.
↑ Sivukhin D.V. Curs general de fizică. - M . : Nauka , 1977. - T. III. Electricitate. - S. 241. - 688 p.
↑ Sivukhin D.V. Curs general de fizică. - M . : Nauka , 1977. - T. III. Electricitate. - S. 253. - 688 p.
↑ În practică, când se scriu ecuații pentru un mediu, indicele f pentru curenți este de obicei omis, se scrie simplu . De asemenea, adesea nu se fac rezerve că acestea sunt tocmai curente „libere”. Într-o astfel de teorie fenomenologică, nu sunt luate în considerare în mod explicit alți curenti, deși, de fapt, există curenți (fizic) conectați, desigur, ei sunt pur și simplu „ascunși” în alte cantități - etc. și sunt formal excluși din luare în considerare. $\vec j$ ${\vec I},{\vec H}$
↑ Deoarece această generalizare se bazează pe corectitudinea versiunii magnetostatice a teoremei lui Ampere privind circulația unui câmp magnetic și conservarea sarcinii (care poate fi luată ca postulat) și se poate arăta corespondența ecuației generalizate cu aceste două premise. destul de strict și atunci când sunt impuse anumite condiții suplimentare, unicitatea unei astfel de generalizări, ea poate fi formulată în principiu și ca o teoremă.
↑ În sistemul gaussian de unități.
↑ În textul principal - în sistemul gaussian de unități. În SI merge așa: $\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}=\int {\vec j}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\ int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.$