Teoria matricelor aleatoare

Teoria matricelor aleatoare este o linie de cercetare la intersecția dintre fizica matematică și teoria probabilității , în care sunt studiate proprietățile ansamblurilor de matrice ale căror elemente sunt distribuite aleator. De regulă, se stabilește legea distribuției elementelor. Procedând astfel, sunt studiate statisticile valorilor proprii ale matricelor aleatoare și, uneori, și statisticile vectorilor lor proprii .

Teoria matricelor aleatoare are multe aplicații în fizică, în special în aplicațiile mecanicii cuantice la studiul sistemelor dinamice dezordonate și clasic haotice . Faptul este că Hamiltonianul unui sistem haotic poate fi adesea gândit ca un Hermitian aleatoriu sau o matrice reală simetrică , în timp ce nivelurile de energie ale acestui Hamiltonian vor fi valorile proprii ale matricei aleatoare.

Pentru prima dată, teoria matricelor aleatoare a fost aplicată de Wigner în 1950 pentru a descrie nivelurile de energie ale nucleului atomic . Ulterior, s-a dovedit că teoria matricelor aleatoare descrie multe sisteme, inclusiv, de exemplu, nivelurile de energie ale punctelor cuantice , nivelurile de energie ale particulelor în potențiale de formă complexă. După cum sa dovedit, teoria matricelor aleatoare este aplicabilă aproape oricărui sistem cuantic al cărui omolog clasic nu este integrabil . În același timp, există diferențe semnificative în distribuția nivelurilor de energie: distribuția nivelurilor de energie într-un sistem integrabil, de regulă, este apropiată de distribuția Poisson , în timp ce pentru un sistem neintegrabil are o formă diferită, care este caracteristica matricelor aleatoare (vezi mai jos).

Teoria matricelor aleatoare s-a dovedit a fi utilă pentru secțiuni aparent străine ale matematicii, în special, distribuția zerourilor funcției zeta Riemann pe linia critică poate fi descrisă folosind un ansamblu de matrici aleatoare [1] .

Ansambluri de bază de matrici aleatoare și aplicațiile lor în fizică

Există trei tipuri principale de ansambluri de matrice aleatoare care au aplicații în fizică. Acestea sunt ansamblul ortogonal gaussian , ansamblul unitar gaussian , ansamblul simplectic gaussian .

Ansamblul unitar gaussian - cel mai general ansamblu, este format din matrici hermitiene arbitrare, ale căror părți reale și imaginare ale elementelor au o distribuție gaussiană . Sistemele descrise de un ansamblu unitar gaussian sunt lipsite de orice simetrie - sunt non-invariante în timpul inversării timpului (o astfel de proprietate este deținută, de exemplu, de sistemele într-un câmp magnetic extern) și neinvariante în cazul rotațiilor de spin.

Ansamblul ortogonal gaussian este format din matrici reale simetrice. Ansamblul ortogonal gaussian descrie sisteme care sunt simetrice în raport cu inversarea timpului, ceea ce în cazuri practice înseamnă absența unui câmp magnetic și a impurităților magnetice în astfel de sisteme.

Ansamblul simplectic gaussian este format din matrici hermitiene ale căror elemente sunt cuaternioni . Ansamblul simplectic gaussian descrie un sistem care conține impurități magnetice, dar nu într-un câmp magnetic extern.

Cele mai importante caracteristici ale spectrului de matrici aleatoare

Distribuția valorilor proprii

Distribuția valorilor proprii ale unei matrice aleatoare gaussiene suficient de mare este, în prima aproximare, un semicerc ( legea semicercurilor lui Wigner ). Legea semicercului Wigner este satisfăcută în limita, într-o oarecare măsură corespunzătoare aproximării semiclasice în mecanica cuantică , este îndeplinită mai precis, cu cât dimensiunea matricei analizate este mai mare. La o dimensiune finită a matricei, distribuția nivelurilor de energie are „cozi” gaussiene. Semicercurile sunt obținute pentru toate ansamblurile gaussiene, la acest nivel toate cele trei ansambluri de mai sus dau distribuții echivalente. Diferențele calitative dintre cele trei ansambluri se manifestă la nivelul următor, la nivelul funcțiilor de corelare perechi ale valorilor proprii. $\nu (E)\propto {\sqrt {E_{0}^{2}-E^{2))}$

Funcția de corelare a valorilor proprii

Note

↑ Keating și colab., 2000 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Random Matrix (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Literatură

Mehta M. L. Matrici aleatoare. - Ed. a 3-a - New York: Academic Press, 1991.
Keating JP , Snaith NC Teoria matricei aleatoare și $\zeta (1/2+it)$ (engleză) // Commun. Matematică. Fiz. : revista. - 2000. - Vol. 214 . — P. 57–89 .