Quaternion

Quaternion
Data înființării/creării/apariției	1843 [1]
Anterior în ordine	număr complex
Urmează în ordine	algebra Cayley
Descoperitor sau Inventor	William Rowan Hamilton [1]
data deschiderii	1843
Formula care descrie o lege sau o teoremă	$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$
Descris în link	treccani.it/enciclopedia…getpocket.com/explore/it… ( engleză )


Fișiere media la Wikimedia Commons

Quaternioni (din lat. quaterni , câte patru ) - un sistem de numere hipercomplexe , formând un spațiu vectorial de dimensiunea patru peste câmpul numerelor reale . De obicei notat cu simbolul . Propus de William Hamilton în 1843 . $\mathbb {H}$

Cuaternionii sunt convenabil pentru descrierea izometriilor spațiilor euclidiene tridimensionale și patru- dimensionale și, prin urmare, sunt utilizați pe scară largă în mecanică . Ele sunt, de asemenea, utilizate în matematica computațională - de exemplu, atunci când se creează grafice tridimensionale [2] .

Henri Poincare a scris despre cuaternioni: „Apariția lor a dat un impuls puternic dezvoltării algebrei ; pornind de la ele, știința a mers pe calea generalizării conceptului de număr, ajungând la conceptele de matrice și operator liniar care pătrund în matematica modernă. A fost o revoluție în aritmetică, asemănătoare cu cea pe care Lobaciovski a făcut-o în geometrie ” [3] .

Definiții

Standard

Cuaternionii pot fi definiți ca sumă

q=a+bi+cj+dk

unde sunt numerele reale $a,b,c,d$

i,j,k

sunt unități imaginare cu următoarea proprietate: , în timp ce rezultatul produsului lor pe perechi depinde de ordinea secvenței (nu este comutativă ): , a .

i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1

ij=k

ji=-k

Tabelul înmulțirii cuaternionilor de bază

1,i,j,k

X	unu	i	j	k
unu	unu	i	j	k
i	i	-unu	k	-j
j	j	-k	-unu	i
k	k	j	-i	-unu

Ca un vector și un scalar

Un cuaternion este o pereche în care este un vector spațial tridimensional și este un scalar, adică un număr real . $\left(a,{\vec {u}}\right),$ ${\vec {u}}$ $A$

Operațiile de adăugare sunt definite după cum urmează:

\left(a,{\vec {u}}\right)+\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(a+b,{\vec {u}}+ {\vec {v}}\dreapta).

Un produs este definit după cum urmează:

\left(a,{\vec {u}}\right)\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(ab-{\vec {u}}\cdot {\ vec {v)),a{\vec {v}}+b{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right),

unde denotă produsul scalar și este produsul vectorial . $\cdot$ $\times$

În special,

\left(a,0\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(0,{\vec {v}}\right)\left(a,0\ dreapta)=\left(0,a{\vec {v}}\right),

\left(a,0\right)\left(b,0\right)=\left(ab,0\right),

\left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v)),{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right).

Observa asta:

Operaţiile algebrice pe cuaternioni au proprietatea distributivă ;
Anticomutativitatea produsului vectorial implică necomutativitatea produsului cuaternionilor.

Prin numere complexe

Un cuaternion arbitrar poate fi reprezentat ca o pereche de numere complexe sub forma $\q=a+bi+cj+dk$

\ q=(a+bi)+(c+di)j

sau echivalent

\ q=z_{1}+z_{2}j,\quad z_{1}=a+bi,\quad z_{2}=c+di,

unde sunt numerele complexe, deoarece este valabil atât pentru numere complexe, cât și pentru cuaternioni și . $\z_{1},z_{2}$ $\ i^{2}=-1$ $k=ij$

Prin reprezentări matriceale

Matrici reale

Cuaternionii pot fi definiți și ca matrici reale de următoarea formă cu produsul și suma obișnuite ale matricei:

{\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\;a&-d&\;\;c\\c&\;\;d&\;\;a&-b\\d&-c&\; \;b&\;\;a\end{pmatrix}}.

Cu această intrare:

cuaternionul conjugat corespunde matricei transpuse: ${\bar q}\mapsto Q^{T}$ ;
a patra putere a modulului cuaternionului este egală cu determinantul matricei corespunzătoare: $\left|q\right|^{4}=\det Q.$

Matrici complexe

Alternativ, cuaternionii pot fi definiți ca matrici complexe de următoarea formă, cu produsul și suma obișnuite ale matricei:

{\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar \beta }&{\bar \alpha }\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}\;\;a+ bi&c +di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}},

aici și notăm numerele complexe conjugate k și . ${\bar \alpha }$ ${\bar \beta }$ $\alfa$ $\beta$

Această reprezentare are câteva proprietăți remarcabile:

unui număr complex corespunde unei matrice diagonale;
cuaternionul conjugat corespunde matricei transpuse conjugate: ${\bar q}\mapsto {\bar Q}^{T}$ ;
pătratul modulului cuaternionului este egal cu determinantul matricei corespunzătoare: $\left|q\right|^{2}=\det Q.$

Obiecte și operații înrudite

Pentru cuaternion

q=a+bi+cj+dk

cuaternionul se numește parte scalară , iar cuaternionul se numește parte vectorială . Dacă atunci cuaternionul este numit pur scalar , iar când - pur vector . $A$ $q,$ $u=bi+cj+dk$ $u=0,$ $a=0$

Conjugarea

Pentru un cuaternion , conjugatul este: $q$

{\bar {q}}=a-bi-cj-dk.

Produsul conjugat este produsul conjugatelor în ordine inversă:

{\overline {pq}}={\bar {q}}{\bar {p}}.

Pentru cuaternioane, egalitatea

{\overline {p}}=-{\frac {1}{2}}(p+ipi+jpj+kpk).

Modulul

La fel ca pentru numerele complexe,

\left|q\right|={\sqrt {q{\bar q}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}

numit modul . Dacă atunci se numește unitatea de cuaternion . $q$ $\left|q\right|=1,$ $q$

Ca normă a unui cuaternion, modulul său este de obicei considerat: . $\left\|z\right\|=\left|z\right|$

Astfel, se poate introduce o metrică pe setul de cuaternioni. Cuaternionii formează un spațiu metric izomorf cu metrica euclidiană. $\R^4$

Cuaternionii cu modulul ca normă formează o algebră Banach .

Inversarea înmulțirii (diviziunii)

Cuaternionul, invers înmulțirii cu , se calculează astfel: . $q$ $q^{{-1}}={\frac {{\bar q}}{\left|q\right|^{2}}}$

Proprietăți algebrice

Setul de cuaternioni este un exemplu de solid , adică un inel cu diviziune și unu. Setul de cuaternioni formează o algebră de diviziune asociativă cu patru dimensiuni peste câmpul numerelor reale (dar nu complexe).

După teorema Frobenius , corpurile , , sunt singurele algebre de diviziune asociativă cu dimensiuni finite din câmpul numerelor reale. ${\mathbb R}$ ${\mathbb C}$ ${\mathbb H}$

Necomutativitatea înmulțirii cuaternionilor duce la consecințe neașteptate. De exemplu, numărul de rădăcini diferite ale unei ecuații polinomiale peste un set de cuaternioni poate fi mai mare decât gradul ecuației. În special, ecuația are infinit de soluții - toate acestea sunt cuaternioni pur vectori unitari. $q^{2}+1=0$

Patru cuaternioni de bază și patru opuși în semn formează un grup de cuaternioni ( de ordinul 8) prin înmulțire. Desemnat:

Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\right\}.

Cuaternioni și rotații spațiale

Cuaternionii, considerați ca o algebră peste , formează un spațiu vectorial real cu patru dimensiuni . Orice rotație a acestui spațiu relativ la poate fi scrisă ca , unde și sunt o pereche de cuaternioni unitari, în timp ce perechea este determinată până la un semn, adică o rotație este determinată de exact două perechi - și . De aici rezultă că grupul de rotații Lie este grupul de factori , unde denotă grupul multiplicativ de cuaternioni unitari. $\mathbb {R}$ $0$ $q\mapsto\xi q\zeta$ $\xi$ $\zeta$ $\stanga(\xi,\zeta \right)$ $\stanga(\xi,\zeta \right)$ $\left(-\xi,-\zeta \right)$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,4\right)$ $\R^4$ $S^{3}\ori S^{3}/\mathbb{Z } _{2}$ $S^{3}$

Cuaternionii pur vectori formează un spațiu vectorial real tridimensional. Orice rotație a spațiului cuaternionilor pur vectori în raport cu poate fi scrisă ca , unde este o unitate de cuaternion. În consecință, , în special, este difeomorfă cu . $0$ $u\mapsto \xi u{\bar \xi }$ $\xi$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,3\right)=S^{3}/\mathbb{Z } _{2}$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,3\right)$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{3}$

Cuaternioni „întregi”

Ca normă a unui cuaternion, alegem pătratul modulului său: . $\left\|z\right\|=\left|z\right|^{2}$

Numerele întregi Hurwitz sunt numite cuaternioni astfel încât toate sunt numere întregi și au aceeași paritate. $a+bi+cj+dk$ $2a,2b,2c,2d$

Se numește un cuaternion întreg

chiar
ciudat
simplu

dacă norma sa are aceeaşi proprietate.

Un cuaternion întreg se numește primitiv dacă nu este divizibil cu niciun număr natural, altul decât , întreg (cu alte cuvinte, ). $unu$ $\gcd \left(2a,2b,2c,2d\right)\leq 2$

Cuaternioni de unități întregi

Există 24 de cuaternioni de unități întregi:

\pm 1

; ; ; ;

\pm i

\pm j

\pm k

{\frac {\pm 1\pm i\pm j\pm k}{2)).

Ele formează un grup prin înmulțire, se află la vârfurile unui poliedru obișnuit cu 4 dimensiuni - un cuboctaedru cu 3 (a nu se confunda cu un poliedru tridimensional - cuboctaedru ).

Descompunerea în factori primi

Pentru cuaternionii primitivi, un analog al teoremei fundamentale a aritmeticii este adevărat .

Teorema. [4] Pentru orice ordine fixă a factorilor în descompunerea normei de cuaternion într-un produs de numere întregi pozitive, există o descompunere a cuaterniilor într-un produs de cuaternioni simpli astfel încât . Mai mult, această expansiune este unică înmulțire modulo cu unități, ceea ce înseamnă că orice altă expansiune va avea forma $N(q)$ $N(q)=p_{1}p_{2}...p_{n}$ $q$ $q=q_{1}q_{2}...q_{n}$ $N(q_{i})=p_{i}$

q=\left(q_{1}\epsilon _{1}\right)\left({\bar \epsilon }_{1}q_{2}\epsilon _{2}\right)\left({\bar \epsilon }_{2}q_{3}\epsilon _{3}\right)...\left({\bar \epsilon }_{{n-1}}q_{n}\right)

unde , , , … sunt cuaternioni de unitate întregi. $\epsilon_{1}$ $\epsilon_{2}$ $\epsilon _{3}$ $\epsilon_{{n-1}}$

De exemplu, un cuaternion primitiv are o normă de 60, ceea ce înseamnă că, înmulțirea modulo cu unități, are exact 12 expansiuni într-un produs de cuaternioni simpli, corespunzătoare la 12 expansiuni ale numărului 60 în produse de numere prime: $q=(1+i)^{2}(1+i+j)(2+i)$

$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\quad 60=2\cdot 2\cdot 5\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 2\cdot 5\quad 60=2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\quad 60=2\cdot 5\cdot 3\cdot 2$

$60=3\cdot 2\cdot 2\cdot 5\quad 60=5\cdot 2\cdot 2\cdot 3\quad 60=3\cdot 2\cdot 5\cdot 2\quad 60=5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\quad 60=3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\quad 60=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2$

Numărul total de expansiuni ale unui astfel de cuaternion este $24^{3}\cdot 12=165888$

Funcții variabile Quaternion

Funcții de ajutor

Semnul cuaternionului se calculează astfel:

\operatorname {sgn} \,q={\frac {q}{\left|q\right|}}.

Argumentul cuaternionului este unghiul din spațiul 4D dintre cuaternion și unitatea reală:

\arg q=\arccos {\frac {a}{\left|q\right|}}.

În cele ce urmează, folosim reprezentarea cuaternionului dat în forma $q$

q=a+\left|\mathbf {u} \right|\mathrm {i} =\left|q\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\mathrm {arg} \ ,q}.

Aici este partea reală a cuaternionului, . În același timp , așadar , planul drept real care trece prin și are structura algebrei numerelor complexe, ceea ce ne permite să transferăm funcții analitice arbitrare în cazul cuaternionilor. Ele satisfac relațiile standard dacă toate argumentele sunt de forma unui vector unitar fix . Dacă se cere să se ia în considerare cuaternioni cu direcții diferite, formulele devin mult mai complicate, din cauza necomutativității algebrei cuaternionilor. $A$ ${\mathrm {i}}=\left|{\mathbf {u}}\right|^{{-1}}{\mathbf {u}}$ ${\mathrm {i}}^{2}=-1$ $q$ $a+b{\mathrm {i}}$ ${\mathrm {i}}$

Funcții elementare

Definiția standard a funcțiilor analitice pe o algebră normată asociativă se bazează pe extinderea acestor funcții în serii de puteri. Argumentele care demonstrează corectitudinea definiției unor astfel de funcții sunt complet analoge cu cazul complex și se bazează pe calcularea razei de convergență a seriei de puteri corespunzătoare. Având în vedere reprezentarea „complexă” de mai sus pentru un cuaternion dat, seria corespunzătoare poate fi redusă la forma compactă de mai jos. Iată doar câteva dintre cele mai comune funcții analitice; în mod similar, orice funcție analitică poate fi calculată. Regula generală este: dacă pentru numere complexe, atunci unde este cuaternionul considerat în reprezentarea „complexă” . $f(a+b{\mathrm {i}})=c+d{\mathrm {i}}$ $f(q)=c+d{\mathbf {i))$ $q$ $q=a+b{\mathbf {i}}$

Gradul și logaritmul

\exp q=\exp a\left(\cos \left|{\mathbf {u}}\right|+\sin \left|{\mathbf {u}}\right|{\hat ({\mathbf {u } }}}}\dreapta)

\ln q=\ln \left|q\right|+\arg q\,{\hat ({\mathbf {u))))

Rețineți că, ca de obicei în analiza complexă, logaritmul se dovedește a fi definit doar până la . $2\pi {\hat {{\mathbf {u))))$

Funcții trigonometrice

\sin q=\sin a\,\operatorname {ch}\left|{\mathbf {u}}\right|+\cos a\,\operatorname {sh}\left|{\mathbf {u}}\right |{\hat {{\mathbf {u}}}}

\cos q=\cos a\,\operatorname {ch}\left|{\mathbf {u}}\right|-\sin a\,\operatorname {sh}\left|{\mathbf {u}}\right |{\hat {{\mathbf {u}}}}

\operatorname {tg}\,q={\frac {\sin q}{\cos q))

Afișare liniară

O mapare algebrică cuaternionică se numește liniară dacă egalitățile $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(ax)=af(x)

x,y\in \mathbb {H} ,a\in \mathbb {R}

unde este câmpul numerelor reale. Dacă este o mapare liniară a algebrei cuaternioane, atunci pentru orice mapare $\mathbb {R}$ $f$ $a,b\in \mathbb {H}$

(afb)(x)=af(x)b

este o mapare liniară. Dacă este maparea identității ( ), atunci pentru oricare putem identifica produsul tensor cu maparea $f$ $f(x)=x$ $a,b\in \mathbb {H}$ $a\otimes b$

(a\otimes b)\circ x=axb

Pentru orice mapare liniară , există un tensor , , astfel încât $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ $a\in \mathbb {H} \otimes \mathbb {H}$ $a=a_{s0}\otimes a_{s1)$

f(x)=a\circ x=(a_{s0}\otimes a_{s1})\circ x=a_{s0}xa_{s1)

Egalitățile de mai sus presupun însumarea peste indice . Prin urmare, putem identifica maparea liniară și tensorul . $s$ $f$ $A$

Funcții obișnuite

Există diferite moduri de a defini funcțiile regulate ale unei variabile de cuaternion. Cea mai explicită este luarea în considerare a funcțiilor diferențiabile cuaternion, în timp ce se pot lua în considerare funcțiile diferențiabile la dreapta și la stânga care nu coincid din cauza necomutativității înmulțirii cuaternionilor. Evident, teoria lor este complet analogă. Definim o funcție diferențiabilă cuaternion-stânga ca având o limită $f$

{\frac {df}{dq}}=\lim _{{h\la 0}}\left[h^{{-1}}\left(f\left(q+h\right)-f\left (q\dreapta)\dreapta)\dreapta]

Se pare că toate astfel de funcții dintr-o anumită vecinătate a punctului au forma $q$

f=a+qb

unde sunt cuaternioni constanti. O altă modalitate se bazează pe utilizarea operatorilor $a,b$

{\frac {\partial }{\partial {\bar q))}={\frac {\partial }{\partial t))+{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x)) +{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y))+{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z))

{\frac {\partial }{\partial q))={\frac {\partial }{\partial t))-{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x))-{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z}}

și luarea în considerare a unor astfel de funcții de cuaternion , pentru care [5] $f$

{\frac {\partial f}{\partial {\bar q))}=0

ceea ce este complet analog cu utilizarea operatorilor şi în cazul complex. În acest caz, se obțin analogi ai teoremei integrale Cauchy , teoria reziduurilor , funcțiile armonice și seria Laurent pentru funcțiile cuaternionilor [6] . ${\frac {\partial }{\partial {\bar z))}$ ${\frac {\partial }{\partial z))$

Diferențierea mapărilor

O mapare continuă se numește diferențiabilă pe mulțime dacă în fiecare punct modificarea maparii poate fi reprezentată ca $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ $U\subset \mathbb {H}$ $x\în U$ $f$

f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)

Unde

{\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

o hartă liniară a algebrei cuaternioane și o hartă continuă astfel încât $\mathbb {H}$ $o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0

Maparea liniară se numește derivată a mapării . ${\frac {df(x)}{dx))$ $f$

Derivata poate fi reprezentată ca [7]

{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{ dx}}

În consecință, diferenţialul de cartografiere are forma $f$

df=

{\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1} f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx} }

Aici se presupune însumarea după indice . Numărul de termeni depinde de alegerea funcției . Expresiile și se numesc componente ale derivatei. $s$ $f$ ${\frac {d_{s0}df(x)}{dx))$ ${\frac {d_{s1}f(x)}{dx))$

Pentru un cuaternion arbitrar , egalitatea $A$

{\frac {df(x)}{dx}}\circ a=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))

Tipuri de înmulțiri

Înmulțirea Grassmann

Acesta este un alt nume pentru multiplicarea general acceptată a cuaternionilor ( ). $pq$

Înmulțirea euclidiană

Se deosebește de cel general acceptat prin aceea că în locul primului factor se ia conjugatul la acesta: . De asemenea, este necomutativă. ${\bar p}q$

Produs punct

Similar cu operația cu același nume pentru vectori:

p\cdot q={\frac {{\bar p}q+{\bar q}p}{2))

Această operație poate fi folosită pentru a selecta unul dintre coeficienți, de exemplu, . $\left(a+bi+cj+dk\right)\cdot i=b$

Definiția modulului cuaternionului poate fi modificată:

\left|p\right|={\sqrt {p\cdot p}}

Produs extern

\operatorname {Exterior}\left(p,q\right)={\frac {{\bar p}q-{\bar q}p}{2))

Nu este folosit foarte des, dar considerat în plus față de produsul punctual.

Produs vectorial

Similar cu operația cu același nume pentru vectori. Rezultatul este, de asemenea, un vector:

p\time q={\frac {pq-qp}{2))

Din istorie

Sistemul de cuaternioni a fost publicat pentru prima dată de Hamilton în 1843 . Istoricii științei au găsit și schițe pe această temă în manuscrisele nepublicate ale lui Gauss , datând din anii 1819-1820 [ 9 ] . Euler a considerat și cuaternioni. B. O. Rodrigue (1840), luând în considerare rotațiile unui corp absolut rigid, a derivat regulile de înmulțire a cuaternionilor [10] [11] .

Dezvoltarea rapidă și extrem de fructuoasă a analizei complexe în secolul al XIX-lea a stimulat interesul matematicienilor pentru următoarea problemă: să găsească un nou tip de numere, similare ca proprietăți cu numerele complexe , dar care să conțină nu una, ci două unități imaginare. S-a presupus că un astfel de model ar fi util în rezolvarea problemelor spațiale ale fizicii matematice. Cu toate acestea, lucrările în această direcție nu au avut succes. Hamilton [11] s-a ocupat de aceeași problemă .

Un nou tip de număr a fost descoperit de matematicianul irlandez William Hamilton în 1843 și conținea nu două, așa cum era de așteptat, ci trei unități imaginare. Hamilton a lucrat mai întâi cu dublete (puncte într-un plan) și a obținut ușor reguli de înmulțire corespunzătoare numerelor complexe, dar pentru punctele din spațiu ( triple ) nu a putut obține nicio formulă de înmulțire pentru astfel de mulțimi. În cele din urmă, am decis să încerc patru - puncte în spațiul cu patru dimensiuni. Hamilton a numit aceste numere cuaternioni [12] . Mai târziu , Frobenius a demonstrat riguros ( 1877 ) o teoremă conform căreia este imposibil să extinzi un câmp complex la un câmp sau corp cu două unități imaginare [13] .

Dezvoltarea cuaternionilor și aplicațiile lor în fizică a urmat trei căi legate: cu abordarea algebrică, apologeții căreia au fost Cayley , Clifford , B. Pierce , C. Pierce și Frobenius; cu teoria cuaternionilor complecși, ai căror reprezentanți au fost Clifford, Studi și Kotelnikov ; cu fizica din cauza numelor Maxwell si Heaviside [14] . În ciuda proprietăților neobișnuite ale numerelor noi (non-comutativitatea lor), acest model a adus rapid beneficii practice. Maxwell a folosit notația cuaternionică compactă pentru a-și formula ecuațiile câmpului electromagnetic . [15] Mai târziu, pe baza algebrei cuaternioane, a fost creată analiza vectorială tridimensională ( Gibbs , Heaviside ) [16] . Utilizarea cuaternionilor a fost înlocuită de analiza vectorială din ecuațiile electrodinamicii. Cu toate acestea, legătura strânsă a ecuațiilor lui Maxwell cu cuaternionii nu se limitează la electrodinamică, deoarece formularea SRT în termeni de 4 vectori a fost construită de Minkowski în teoria SRT folosind cuaternioni de A. W. Conway și Silberstein [ 17] . Perioada postbelică a utilizării cuaternionilor în fizică este asociată cu utilizarea pe scară largă a teoriei grupurilor și a reprezentărilor acestora în fizica particulelor elementare. Este, de asemenea, posibil să înlocuim spațiul Hilbert standard al mecanicii cuantice cu definiția sa peste câmpul oblic al cuaternionilor [18] .

Aplicație modernă

În secolul al XX-lea, s-au făcut mai multe încercări de utilizare a modelelor cuaternionilor în mecanica cuantică [19] și în teoria relativității [20] . Quaternionii și-au găsit aplicații reale în grafica computerizată modernă și programarea jocurilor [21] , precum și în mecanica computațională [22] [23] , în navigația inerțială și teoria controlului [24] [25] . Din 2003, a fost publicată revista Hypercomplex Numbers in Geometry and Physics [26] .

În multe aplicații, s-au găsit mijloace mai generale și practice decât cuaternionii. De exemplu, astăzi, pentru a studia mișcările în spațiu, cel mai des este folosit calculul matriceal [27] . Totuși, acolo unde este important să se specifice o rotație tridimensională folosind numărul minim de parametri scalari, utilizarea parametrilor Rodrigues-Hamilton (adică cele patru componente ale cuaternionului de rotație) este adesea de preferat: o astfel de descriere nu degenerează niciodată. , iar când se descriu rotații cu trei parametri (de exemplu, unghiuri Euler ) există întotdeauna valori critice ale acestor parametri atunci când descrierea degenerează [22] [23] .

Ca algebră peste , cuaternionii formează un spațiu vectorial real echipat cu un tensor de rangul trei de tip (1,2), numit uneori tensor de structură . Ca orice tensor de acest tip, mapează fiecare formă 1 pe și o pereche de vectori de la un număr real . Pentru orice formă fixă 1, se transformă într-un tensor covariant de rangul doi, care, în cazul simetriei sale, devine produsul interior pe . Deoarece fiecare spațiu vectorial real este și o varietate liniară reală , un astfel de produs interior generează un câmp tensor care, cu condiția să nu fie degenerat, devine o metrică euclidiană (pseudo- sau propriu -zisă) . În cazul cuaternionilor, acest produs interior este nedefinit , semnătura sa este independentă de forma 1 , iar metrica pseudo-euclidiană corespunzătoare este metrica Minkowski [28] . Această metrică este extinsă automat la grupul Lie de cuaternioni non-zero de-a lungul câmpurilor sale vectoriale stânga invariante, formând așa-numita metrică FLRU (Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker) închisă [29] , o soluție importantă a ecuațiilor Einstein. . Aceste rezultate clarifică unele aspecte ale problemei compatibilității dintre mecanica cuantică și relativitatea generală în cadrul teoriei gravitației cuantice [30] . $\scriptstyle \mathbb {R}$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $S$ $S$ $t$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $\left(a,b\dreapta)$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $S\stânga(t,a,b\dreapta)$ $t$ $S$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $t$

Vezi și

Note

↑ 1 2 Hazewinkel M. , Gubareni N. M. Algebre, inele și module (engleză) - Springer Science + Business Media , 2004. - P. 12. - ISBN 978-1-4020-2690-4
↑ Quaternions în programarea jocurilor Arhivat 25 iulie 2009 la Wayback Machine ( GameDev.ru )
↑ Polak L. S. William Rowan Hamilton (cu ocazia împlinirii a 150 de ani de naștere) // Proceedings of the Institute of the History of Natural Science. - Academia de Științe a URSS, 1956. - T. 15 (Istoria științelor fizice și matematice) . - S. 273. .
↑ John C. Baez. Despre cuaternioni și octonioni: geometria, aritmetica și simetria lor, de John H. Conway și Derek A. Smith . - Revizuire. Consultat la 7 februarie 2009. Arhivat din original pe 22 august 2011.
↑ R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, - Comentariu. matematica. Helv. 8, p. 371-378, 1936.
↑ A. Sudbery Quaternionic Analysis, Departamentul de Matematică, Universitatea din York, 1977.
↑ Expresia nu este o fracție și ar trebui tratată ca un singur caracter. Această notație este propusă pentru compatibilitate cu notația derivată. Valoarea expresiei atunci când este dată este un cuaternion. ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ $X$
↑ Într-o scrisoare către fiul său Archibald din 5 august 1865, Hamilton scrie: „... Dar, desigur, inscripția a fost deja ștearsă” ( L. S. Polak Principiile variaționale ale mecanicii, dezvoltarea și aplicarea lor în fizică. - M .: Fizmatgiz, 1960. - p.103-104)
↑ Bourbaki N. . Arhitectura matematicii. Eseuri despre istoria matematicii. - M . : Literatură străină, 1963. - S. 68.
↑ Rodrigues Olinde. Legile geometrice care guvernează mișcările unui sistem solid în spațiu și modificarea coordonatelor rezultată din aceste mișcări, considerate independent de cauzele care le pot provoca = Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1840. - T. 5 . - S. 380-440 .
↑ 1 2 Berezin, Kurochkin și Tolkaciov, 2003 , p. 5.
↑ Mișcenko și Solovyov, 1983 , p. 11-12.
↑ Mișcenko și Solovyov, 1983 , p. cincisprezece.
↑ Berezin, Kurochkin și Tolkaciov, 2003 , p. 6-8.
↑ A. N. Krylov Recenzia lucrării academicianului P. P. Lazarev. Arhivat pe 3 mai 2017 la Wayback Machine
↑ Berezin, Kurochkin și Tolkaciov, 2003 , p. opt.
↑ Berezin, Kurochkin și Tolkaciov, 2003 , p. 9.
↑ Berezin, Kurochkin și Tolkaciov, 2003 , p. zece.
↑ Kurochkin Yu. A. Quaternions și unele dintre aplicațiile lor în fizică. Pretipărirea disertației nr. 109. - Institutul de Fizică al Academiei de Științe a BSSR. — 1976.
↑ Alexandrova N. V. Hamilton calculus of quaternions // Hamilton W. R. Lucrări alese: optică, dinamică, cuaternioni. - M . : Nauka, 1994. - (Clasice ale științei). - S. 519-534.
↑ Pobegailo A.P. Aplicarea cuaternionilor în geometria și grafica computerizată. - Minsk: Editura BGU, 2010. - 216 p. — ISBN 978-985-518-281-9 . .
↑ 1 2 Wittenburg J. Dynamics of Solid State Systems. — M .: Mir, 1980. — 292 p. - S. 25-26, 34-36.
↑ 1 2 Pogorelov D. Yu. Introducere în modelarea dinamicii sistemelor corpului. - Bryansk: Editura BSTU, 1997. - 156 p. — ISBN 5-230-02435-6 . . - S. 22-26, 31-36.
↑ Ishlinsky A. Yu. Orientare, giroscoape și navigație inerțială. — M .: Nauka, 1976. — 672 p. - S. 87-103, 593-604.
↑ Chub V. F. Ecuații de navigație inerțială și teoria cuaternionilor spațiu-timp . Consultat la 9 decembrie 2013. Arhivat din original pe 13 decembrie 2013. (nedefinit)
↑ Jurnalul „Numerele hipercomplexe în geometrie și fizică” . Preluat la 13 martie 2014. Arhivat din original la 26 septembrie 2016. (nedefinit)
↑ Klein F. Prelegeri despre dezvoltarea matematicii în secolul al XIX-lea . - M. - L. : GONTI, 1937. - T. I. - S. 229-231 .. - 432 p.
↑ Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, - Editura IOP, V. 32, Nr. 8 / 12.1995. - P. 621-626 - DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
↑ Vladimir Trifonov Geometria naturală a quaterniilor nonzero // Jurnalul Internațional de Fizică Teoretică, - Springer Olanda, V. 46, Nr. 2 / 02.2007. - pp. 251-257 - ISSN 0020-7748 (Tipărit) ISSN 1572-9575 (Online).
↑ Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, - Springer Olanda, V. 47, Nr. 2 / 02.2008. - p. 492-510 - ISSN 0020-7748 (Tipărit) ISSN 1572-9575 (Online).

Literatură

I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov. Numere hipercomplexe . — M .: Nauka , 1973. — 144 p.
Mishchenko A. S. , Solovyov Yu. P. Quaternions // Kvant . - 1983. - T. 9 . - S. 10-15 .
Berezin A. V., Kurochkin Yu. A., Tolkachev E. A. Quaternioni în fizica relativistă . - al 2-lea. - M . : Editorial URSS, 2003. - S. 12 . — 202 p. — ISBN 5-354-00403-9 .
Martin John Baker EuclideanSpace.com Arhivat pe 27 septembrie 2007 la Wayback Machine - Aplicarea cuaternionilor la grafica 3D.
Cuaternioane. Sferturi.
Vatulyan A. O. Quaternions // Soros Educational Journal . - 1999. - Nr. 5 . - S. 117-120 .
John H. Conway , Derek A. Smith. . — M .: MTSNMO , 2009. — 184 p. — ISBN 978-5-94057-517-7 .

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNE : XX4728834 BNF : 11981947w GND : 4176653-2 J9U : 987007553303805171 LCCN : sh85109754 LNB : 000137096 NDL : 00570899 NKC : ph844096

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion

Algebră peste inel
Dimensiune - Puterea lui 2	Numere complexe (mărimea 2) $\mathbb {C}$ Cuaternioane (mărimea 4) $\mathbb {H}$ Numere Cayley/Octonii/Octave (Mărimea 8) $\mathbb O$ Sedenions (mărimea 16) $\mathbb S$
Vezi si	Teorema Frobenius Număr hipercomplex Algebră Corp unitate imaginară