Funcția de corelare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 septembrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Funcția de corelare - o funcție de timp și coordonate spațiale , care stabilește corelația în sistemele cu procese aleatorii.

Definiție

Corelația dependentă de timp a două funcții aleatoare și este definită ca: $X(t)$ $Y(t)$

$C(t,t^{\prime })=\langle X(t)Y(t^{\prime })\rangle$

unde parantezele unghiulare indică procedura de mediere.

Dacă funcția de corelare este calculată pentru același proces, se numește autocorelare :

$C_{auto}(t,t^{\prime })=\langle X(t)X(t^{\prime })\rangle$ .

În mod similar, putem calcula funcția de corelare pentru procesele care au loc în diferite puncte din spațiu în momente diferite:

$C(t,\mathbf {r} ,t^{\prime },\mathbf {r} ^{\prime })=\langle X(t,\mathbf {r} )Y(t^{\ prim },\mathbf {r} ^{\prime })\rangle$ .

Funcțiile de corelație sunt utilizate pe scară largă în fizica statistică și în alte discipline care studiază procesele aleatoare (stochastice) .

Funcția de corelație în fizica statistică

În fizica statistică , funcția de corelație descrie modul în care variabilele microscopice (cum ar fi vitezele atomilor ) sunt legate în diferite puncte din spațiu în momente diferite. Definiția cea mai generală este următoarea:

$G\left(\mathbf {r},\mathbf {R},t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R}, t\right)f_{ 2}\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t+\tau \right)\right\rangle$

unde sunt funcțiile ale căror corelații dorim să le studiem, parantezele unghiulare înseamnă media asupra ansamblului statistic (de exemplu, peste canonic ). $f_{1},f_{2}$

Funcții de corelare simultană

Dacă ne interesează dacă variabilele microscopice se modifică într-un mod corelat în același moment în timp în diferite puncte din spațiu , putem lua în considerare funcții în același moment în timp, atunci funcția lor de corelare se va scrie astfel: $f_{1},f_{2}$

$G\left(\mathbf {r},\mathbf {R},t\right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R}, t\right)f_{2}\ stânga(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t\dreapta)\right\rangle$

o asemenea functie de corelare se numeste simultana .

În mod similar, se poate introduce o funcție de corelație simultană pentru cazul în care nu există două funcții, ci s piese: $f_{1},f_{2}$

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots,\mathbf {r} _{n}\right)=\left\langle f_{1 }\left(\mathbf {r} _{1},t\right)\dots f_{s}\left(\mathbf {r} _{n},t\right)\right\rangle$

Funcții de corelare spațială

Uneori se cere să se ia în considerare evoluția temporală a variabilelor microscopice. Pentru aceasta se folosește funcția de corelare spațială :

$G\left(\mathbf {R},t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R},t\right)f_{2}\left(\ mathbf {R} ,t+\tau \right)\right\rangle$

În același timp, este important să înțelegem că, în ciuda faptului că, în echilibru, unele variabile macroscopice nu depind de timp, variabilele microscopice (cum ar fi, de exemplu, vectorul viteză al unei particule) pot depinde de timp și, prin urmare, astfel de funcții de corelație, care sunt în esență mărimi macroscopice, pot depinde și de timp.

Exemple

Un exemplu de funcții de corelare este funcția de distribuție radială .

Magnetism

Un alt exemplu clasic de funcții de corelație este cel din sistemul de spini , unde descrie produsul lor scalar mediat pe ansamblu :

$G\left(\mathbf {r},\mathbf {R} \right)=\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \right)\right\rangle -\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)\right\rangle \left\langle S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \dreapta)\dreapta\rangle$ unde S este spinul particulei, parantezele indică media ansamblului .

Chiar și în faza paramagnetică , spinurile sunt corelate, deoarece dacă distanța dintre ele este mică, atunci are loc o interacțiune între spini, ceea ce duce la faptul că spinurile sunt corelate, dar ordonarea lor ulterioară este împiedicată de mișcarea termică . Prin urmare, se dovedește că corelațiile dintre rotiri scad exponențial odată cu creșterea distanței dintre ele:

$G\left(\mathbf {r} \right)\aprox {\frac {1}{\mathbf {r} ^{2-d+\eta ))}\exp \left({\frac {-\ mathbf {r} }{\xi }}\right))$

unde este distanța dintre rotiri, d este dimensiunea , este așa-numita. indice critic . Pe măsură ce temperatura scade, mișcarea termică slăbește, iar raza de corelație tinde spre infinit: $\mathbf {r}$ $\eta$ $\xi$

$\xi \sim \left|T-T_{c}\right|^{-\nu }$

unde este un alt indice critic , este temperatura Curie . $\nu$ $T_{c}$

Ca o consecință a acestei formule, în astfel de sisteme are loc o tranziție de fază de ordinul doi .

Funcția de densitate de corelație a numărului de particule de ordinul s

În special, ca exemplu, putem lua în considerare funcția de corelare a densității numărului de particule de ordinul s - aceasta este o funcție a formei

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots,\mathbf {r} _{s}\right)=\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{s}\right)\right\rangle$

unde valoarea

${\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})$

se numește densitatea microscopică a numărului de particule în sensul că integrându-l pe un anumit volum V , putem afla numărul de particule din acesta:

$\int _{V}{\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} \mathbf {r} =N_{V}$

În cazul s = 2 , funcția de corelație a densității numărului de particule se numește funcție de pereche.

Funcția de corelație conectată a densității numărului de particule

Este introdus și conceptul de funcție de corelație conexă a densității numărului de particule : aceasta este o astfel de funcție de corelație care tinde spre 0 dacă particulele sunt împărțite în 2 grupuri și atunci distanța care separă aceste grupuri tinde spre infinit. Termenul „conectat” înseamnă că extinderea schematică pentru o astfel de funcție de corelare conține numai diagrame conectate. $\left(\mathbf {r} _{i_{1}}\dots \mathbf {r} _{i_{l}}\right)$ $\left(\mathbf {r} _{j_{1}}\dots \mathbf {r} _{j_{m}}\right),\l+m=s$

Există un așa-zis. principiul slăbirii corelațiilor : funcțiile de distribuție cu mai multe particule ale unui sistem clasic se descompun în produse ale funcțiilor de distribuție cu mai multe particule cu un număr mai mic de argumente cu o creștere infinită a diferențelor argumentelor corespunzătoare [1] , din care, în special, urmează:

$G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2\right) }\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)$

Prin urmare, putem scrie următoarea expresie pentru funcția de corelație conectată cu două particule a densității numărului de particule:

$G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2) \right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)-G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _ {1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)$

Funcțiile de corelație conectate ale densității unui ordin superior al numărului de particule sunt introduse în mod similar:

$G^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)= G_{coh}^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)+ G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\ dreapta)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r } _{1},\mathbf {r} _{2}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^ {\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{3}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right) G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)$

Generare funcțional

Pentru funcțiile de corelare a densității numărului de particule se poate construi o funcțională generatoare :

$G\left(a\right)=\left\langle e^{\int a\left(\mathbf {r} \right) {\hat {n))\left(\mathbf {r} \right) )\mathrm {d} \mathbf {r} }\right\rangle$

Apoi funcția de corelație a densității este introdusă ca o derivată variațională a funcționalei generatoare:

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r_{1)},\dots,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{\frac {\ delta ^{s}G\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r_{s)) \ dreapta)}}\dreapta|_{a=0}$

În mod similar, poate fi introdusă o funcție de corelare conectată:

$G_{coh}^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots,\mathbf {r} _{s}\right)=\stânga.{ \frac {\delta ^{s}W\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r} _{s}\right)}}\right|_{a=0}$

Unde

$W\left(a\right)=\ln \left(G\left(a\right)\right)$

Sensul fizic

Funcția de corelare este o măsură a ordinii sistemului. Acesta arată modul în care variabilele microscopice se corelează în diferite momente în timp în diferite puncte în medie.

Semnificația fizică a funcției de corelație a densității numărului de particule este că arată densitatea de probabilitate a aranjamentului relativ al particulelor s . Apariția corelațiilor se datorează prezenței interacțiunii dintre particule, din cauza căreia apare ordinea de distanță scurtă .

Este important de reținut că este valabilă următoarea relație:

$G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=\left\langle \delta { \hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{2}\right)\right\rangle$

unde este fluctuația densității . Astfel, funcția de corelație conexă a densității numărului de particule descrie fluctuațiile densității de probabilitate a poziției relative a particulelor. $\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)={\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)-\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\right\rangle$

În plus, funcțiile de corelare în forma cea mai generală pot fi utilizate pentru a găsi alte fluctuații, cum ar fi fluctuațiile numărului de particule și ale temperaturii.

Funcția de corelație în teoria câmpului cuantic

În teoria câmpurilor cuantice, definiția unei funcții de corelație în n puncte este introdusă prin produsul a n câmpuri ordonate cronologic : ${\displaystyle C_{n}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}):=\left\langle T\phi (x_{1})\phi (x_{2})\ ldots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D))\phi \;Te^{-S[\phi ]}\phi (x_{1})\ ldots \phi (x_{n})}{\int {\mathcal {D}}\phi \;Te^{-S[\phi ]))))$

unde — operator de ordonare cronologică , — acțiune . $T$ $S$

Funcția de corelare este adesea denumită pur și simplu corelator .

Funcția de corelație în fizica energiei înalte

În fizica energiilor înalte , funcția de corelație este o măsură a corelației dintre unele mărimi observabile . În studiul ciocnirilor hadron -hadron (de exemplu, proton -proton sau nuclear-nuclear ), analiza corelațiilor dintre diferite cantități observabile, de exemplu, între momentele transversale sau multiplicitățile de particule secundare produse ca urmare a unei coliziuni, este utilizate pe scară largă.

Când se studiază astfel de procese, se obișnuiește să se utilizeze variabile precum viteza sau pseudo -viteza . De regulă, două intervale (numite ferestre ) sunt considerate în spațiul de rapiditate, situate pe laturile opuse ale punctului de coliziune a fasciculelor de particule care se ciocnesc în accelerator , prin urmare, corelațiile care apar în acest caz între mărimile observate, care sunt funcții de rapiditatea (sau pseudo -rapiditatea ) sunt adesea numite „corelații înainte-înapoi”.

Pentru certitudine, să luăm în considerare așa-numitele „corelații multiplicitate-multiplicitate” unde multiplicitatea este o funcție care specifică numărul de particule cu viteză aparținând unui interval dat. În acest caz, funcția de corelare este introdusă ca dependență a multiplicității medii dintr-un interval de rapiditate (de obicei corect) de multiplicitatea dintr-un alt interval. În cazul unei funcții de corelație liniară, avem următoarea expresie pentru aceasta:

${\langle n_{f}\rangle }_{\langle n_{b}\rangle}=a+b\cdot n_{b)$

Această ipoteză este destul de în concordanță cu datele experimentale obținute la diferite acceleratoare de particule , inclusiv SPS și Fermilab.Valoarea lui b din formula de mai sus se numește coeficient de corelație pe distanță lungă. Ca o consecință a formulei de mai sus, se poate obține următoarea formulă pentru coeficientul de corelație:

$b={\frac {\left\langle n_{b}n_{f}\right\rangle -\left\langle n_{f}\dreapta\rangle \left\langle n_{b}\right\rangle }{D_{n_{f}}}}}$

Coeficientul de corelație găsit în acest fel face posibilă studierea fizicii fenomenelor care au loc în ciocnirile hadronilor . În special, diferența coeficientului de corelație față de zero poate însemna că cantitățile studiate (în acest caz, multiplicitățile din geamuri față și din spate) sunt într-un fel legate, dar dependențele rezultate nu au neapărat relații cauzale .

Estimarea funcțiilor de corelație și a caracteristicilor acesteia

Evaluarea acțiunilor de intrare ale ACS necesare calculării funcțiilor de corelare se realizează experimental prin observarea implementării lor timp îndelungat T și cu calculul după următoarea formulă: $r_{x}(\tau )=1/T\int \limits _{0}^{T}x(t)x(t+\tau )dt$

Literatură

Deal. T. Mecanica statistică, M., 1960
Cooney F. M. Fizică statistică și termodinamică, M.: Nauka, 1981
Bogolyubov N. N., Shirkov D. V., Câmpuri cuantice, ed. a II-a, M., 1993
A. A. Abrikosov, L. P. Gorkov, I. E. Dzyaloshinskii. Metode ale teoriei câmpurilor cuantice în fizica statistică., M., Fizmatgiz, 1962
Enciclopedie fizică (ed. Prokhorov)
Akhiezer A. I., Peletminsky S. V., Metode de fizică statistică, M: Nauka, 1977

Vezi și

Corelație

Funcția de autocorelare

covarianta

fizica statistica

Termodinamica

teoria câmpului cuantic

Marele Ciocnitor de Hadroni

Note

↑ Akhiezer A. I., Peletminsky S. V., Metode de fizică statistică, M: Nauka, 1977 - p. 111