Identitatea Brahmagupta-Fibonacci

Identitatea Brahmagupta-Fibonacci , numită și identitatea Brahmagupta sau identitatea diofantină [1] [2] [3] [4] este o identitate algebrică care arată cum produsul a două sume de pătrate poate fi reprezentat ca o sumă de pătrate ( și în două moduri):

{\begin{aliniat}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left( ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left (ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aliniat}}

În ceea ce privește algebrei generale , această identitate înseamnă că mulțimea tuturor sumelor a două pătrate este închisă sub înmulțire .

Exemplu: $(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.$

Istorie

Această identitate a fost publicată pentru prima dată în secolul al III-lea d.Hr. e. Diofantul Alexandriei în tratatul „Aritmetică” (cartea a III-a, teorema 19). Matematicianul și astronomul indian Brahmagupta din secolul al VI-lea probabil a descoperit în mod independent și a generalizat oarecum identitatea prin adăugarea unui parametru arbitrar : $n$

{\begin{aliniat}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left( ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n \left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}

Brahmagupta a descris identitatea în tratatul „Brahma-sphuta-siddhanta” („Învățăturile îmbunătățite ale lui Brahma”, 628) și a folosit ecuația lui Pell pentru a rezolva ( de mai jos )

În Europa, identitatea a apărut pentru prima dată în Cartea pătratelor ( Liber quadratorum ) a lui Fibonacci (1225).

Reprezentare complexă

Fie numere complexe . Atunci identitatea Brahmagupta-Fibonacci este echivalentă cu proprietatea multiplicativă a modulului complex : $a+bi,c+di$

|a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.

Într-adevăr, punând la pătrat ambele părți, obținem:

|a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},

sau conform definiției modulului:

(a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2 }.

Aplicații

Rezolvarea ecuației lui Pell

După cum sa menționat mai sus , Brahmagupta și-a folosit identitatea (3), (4) când a rezolvat ecuația Pell [5] :

x^{2}-ny^{2}=1,

unde este un număr natural care nu este un pătrat. Brahmagupta a selectat mai întâi soluția inițială a ecuației, apoi a scris identitatea în următoarea formă [5] : $n$

(x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2 }+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},

Aceasta arată că dacă triplele și formează o soluție a ecuației x 2 − Ay 2 = k , atunci mai poate fi găsit un triplu ${\displaystyle x_{1},y_{1},k_{1))$ ${\displaystyle x_{2},y_{2},k_{2))$

(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{ 1}k_{2})

și așa mai departe, obținând un număr infinit de soluții.

O metodă generală de rezolvare a ecuației lui Pell, publicată în 1150 de Bhaskara II ( metoda „chakravala” ), se bazează și pe identitatea lui Brahmagupta.

Descompunerea unui număr întreg într-o sumă de două pătrate

Combinată cu teorema Fermat–Euler , identitatea Brahmagupta–Fibonacci arată că produsul dintre pătratul unui număr întreg și orice număr de numere prime de formă poate fi reprezentat ca o sumă de pătrate. $4m+1$

Variații și generalizări

Identitatea a fost aplicată inițial numerelor întregi , totuși este valabilă în orice inel sau câmp comutativ , cum ar fi inelul polinomial sau câmpul numerelor complexe .

Identitatea Brahmagupta-Fibonacci este un caz special al identității Euler în patru pătrate sau al identității Lagrange (teoria numerelor) . Identitatea de patru pătrate se aplică și cuaternionilor , iar identitatea analogă de opt pătrate se aplică octonionilor .

Note

↑ Identitatea Brahmagupta-Fibonacci . Preluat la 11 august 2020. Arhivat din original la 31 decembrie 2020. (nedefinit)
↑ Marc Chamberland: Cifre simple: în lauda numerelor mici . Princeton University Press, 2015, ISBN 9781400865697 , p. 60
↑ Stillwell, 2002 , p. 76
↑ Shanks, Daniel , Probleme rezolvate și nerezolvate în teoria numerelor, p.209, Societatea Americană de Matematică, ediția a patra, 1993.
↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 195.

Literatură

Istoria matematicii. Din cele mai vechi timpuri până la începutul New Age // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Joseph, George G. (2000), [ [1] în Google Books The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics] (ed. a doua), Princeton University Press , p. 306, ISBN 978-0-691-00659-8 , < [2] în „ Google Books ”>
Stillwell, John (2002), [ [3] în Google Books Mathematics and its history] (ed. a doua), Springer , p. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6 , < [4] în „ Google Books ”>

Link -uri

Identitatea lui Brahmagupta la PlanetMath
Identitatea Brahmagupta pe MathWorld
O colecție de identități algebrice