Identitate paralelogramă

Identitatea paralelogramului este una dintre egalitățile din algebra vectorială și analiza vectorială .

În geometria euclidiană

Suma pătratelor lungimilor laturilor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor lungimilor diagonalelor acestuia .

\ (AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2 }.

În spații cu produs interior

În spațiile vectoriale cu produs interior, această identitate arată astfel [1] :

2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2},

Unde

\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .

În spații normate (identitate de polarizare)

Într -un spațiu normat ( V , ) pentru care identitatea paralelogramului este valabilă, se poate introduce un produs interior care generează această normă, adică astfel încât toți vectorii din spațiu . Această teoremă este atribuită lui Fréchet , von Neumann și Jordan [2] [3] . Acest lucru se poate face în felul următor: $\|\cdot \|$ $\langle x,\ y\rangle$ $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ $X$ $V$

pentru spațiu real $\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|xy\|^{2} \over 4},$ sau sau ${\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2},$ ${\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|xy\|^{2} \over 2}.$
pentru spatii complexe $\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|xy\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2 }-\|ix+y\|^{2} \peste 4}.$

Formulele de mai sus care exprimă produsul scalar a doi vectori în termeni de normă se numesc identitate de polarizare .

Evident, norma exprimată în termenii oricărui produs scalar, după cum urmează, va satisface această identitate. $\ \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle$

Identitatea de polarizare este adesea folosită pentru a transforma spațiile Banach în spații Hilbert .

Generalizare

Dacă B este o formă biliniară simetrică în spațiul vectorial și forma pătratică Q este exprimată ca

\ Q(v)=B(v,v)

apoi

{\begin{array}{l}4B(u,v)=Q(u+v)-Q(uv),\\2B(u,v)=Q(u+v)-Q(u )-Q(v),\\2B(u,v)=Q(u)+Q(v)-Q(uv).\end{array}}

Vezi și

Teorema patrulaterelor lui Euler este o generalizare a identității în cazul patrulaterelor arbitrare.

Note

↑ Shilov, 1961 , p. 185.
↑ Philippe Blanchard, Erwin Brüning. Propunerea 14.1.2 (Fréchet–von Neumann–Iordan) // Metode matematice în fizică: distribuții, operatori spațiali Hilbert și metode variaționale (engleză) . — Birkhauser, 2003. - P. 192. - ISBN 0817642285 . Arhivat pe 19 august 2017 la Wayback Machine
↑ Gerald Teschl. Teorema 0.19 (Jordan–von Neumann) // Metode matematice în mecanica cuantică: cu aplicații la operatori Schrödinger (engleză) . - Librăria Societății Americane de Matematică, 2009. - P. 19. - ISBN 0-8218-4660-4 . Arhivat pe 6 mai 2021 la Wayback Machine

Link -uri

Geometrie analitică în plan și în spațiu / Algebră vectorială (rusă)

Literatură

Shilov G. E. Analiză matematică. Curs special. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.