Teorema patrulaterului lui Euler

Teorema patrulaterului lui Euler (și legea lui Euler pentru patrulatere ) este o teoremă de geometrie plană numită după Leonhard Euler (1707–1783) care descrie relația dintre laturile unui patrulater convex și diagonalele sale. Teorema este o generalizare a identităţii paralelogramului , care la rândul său poate fi văzută ca o generalizare a teoremei lui Pitagora ; de aceea se folosește uneori numele de teoremă Euler-Pitagora .

Teoremă și cazuri speciale

Pentru un patrulater convex cu laturi și diagonale și , ale cărui puncte medii sunt legate printr-un segment , egalitatea este adevărată: $a,b,c,d$ $e$ $f$ $g$

A 2 + b 2 + c 2 + d 2 = e 2 + f 2 + patru g 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2))

{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2))

Dacă patrulaterul este un paralelogram , atunci punctele medii ale diagonalelor coincid, iar segmentul care le leagă are lungimea egală cu 0. În plus, lungimile laturilor paralele ale unui paralelogram sunt egale, deci în acest caz teorema lui Euler se reduce la formulă: $g$

2 A 2 + 2 b 2 = e 2 + f 2 {\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2))

{\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2))

care se numeşte identitate paralelogramă .

Dacă patrulaterul este un dreptunghi , atunci egalitatea este și mai simplificată, deoarece acum cele două diagonale sunt egale:

2 A 2 + 2 b 2 = 2 e 2 {\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2))

{\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2))

Împărțirea la 2 dă teorema lui Euler-Pitagora:

A 2 + b 2 = e 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}

a^{2}+b^{2}=e^{2}

Cu alte cuvinte: pentru un dreptunghi, raportul dintre laturile unui patrulater și diagonalele acestuia este descris de teorema lui Pitagora [1] .

Formulări și extensii alternative

Euler a derivat teorema de mai sus ca o consecință a unei alte teoreme, care, pe de o parte, este mai puțin elegantă, deoarece necesită adăugarea unui punct în plus, dar, pe de altă parte, oferă o mai bună înțelegere a proprietăților patrulaterului. .

Pentru un patrulater convex dat , Euler a introdus un punct suplimentar , astfel încât să formeze un paralelogram; atunci este valabilă următoarea egalitate: $ABCD$ $E$ $ABED$

| A B | 2 + | B C | 2 + | C D | 2 + | A D | 2 = | A C | 2 + | B D | 2 + | C E | 2 {\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2} +|CE|^{2}}

|AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2} +|CE|^{2}

Distanța dintre punctul suplimentar și punctul patrulaterului corespunde unui segment care nu face parte din paralelogram. Lungimea acestui segment poate fi considerată ca o măsură a diferenței dintre patrulaterul considerat și un paralelogram, sau, cu alte cuvinte, ca o măsură a corectitudinii unui termen în egalitatea inițială a identității paralelogramului [2] . $|CE|$ $E$ $C$ $|CE|^{2}$

Deoarece punctul este punctul de mijloc al segmentului , obținem . Punctul este punctul de mijloc al segmentului și este, de asemenea, punctul de mijloc al segmentului , deoarece și sunt diagonalele paralelogramului . De aici obținem , și, prin urmare, . Din teorema lui Thales (și invers) rezultă că și sunt paralele. Atunci , de unde urmează teorema lui Euler [2] . $M$ $AC$ ${\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2$ $N$ $BD$ $AE$ $AE$ $BD$ $ABED$ ${\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2$ ${\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}$ $CE$ $NM$ $|CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}$

Teorema lui Euler poate fi extinsă la un set de patrulatere, care include patrulatere care se intersectează și neplanare . Se realizează pentru așa-numitele patrulatere generalizate , care constau din patru puncte arbitrare din spațiu , conectate prin muchii pentru a forma un ciclu grafic [3] . $\mathbb {R} ^{n}$

Note

↑ Debnath, 2010 , p. 105–107.
↑ 1 2 Haunsperger, Kennedy, 2006 , p. 137–139.
↑ Kandall, 2002 , p. 403–404.

Literatură

Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy. Marginea universului: Sărbătorirea a zece ani de orizonturi matematice . - MAA, 2006. - S. 137-139. — ISBN 9780883855553 .
Lokenath Debnath. Moștenirea lui Leonhard Euler: un tribut tricentenar . — World Scientific, 2010. — P. 105–107. — ISBN 9781848165267 .
C. Edward Sandifer. Cum a făcut Euler . - MAA, 2007. - S. 33-36. — ISBN 9780883855638 .
Geoffrey A. Kandall. Teorema lui Euler pentru patrulatere generalizate // The College Mathematics Journal. - 2002. - noiembrie ( vol. 33 , nr. 5 ). — S. 403–404 .
Dietmar Hermann. Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen . - Springer, 2013. - P. 418. - ISBN 9783642376122 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Quadrilateral (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .