Punct de auto-atingere

În geometria clasică , un punct de autocontact ( în engleză  tacnode ) sau o cuspidă dublă [1]  este un fel de punct singular [2] . Definit ca punctul în care două (sau mai multe) cercuri curbe învecinate se ating în acel punct . Aceasta înseamnă că două ramuri ale curbei au aceeași tangentă în punctul dublu [1] .

Exemplul canonic este curba

Un alt exemplu de punct de auto-atingere este curba prezentată în figură, care are ecuația

Unele generalizări

Luați în considerare o funcție netedă , cu valori reale, a două variabile, să spunem f ( x ,  y ), unde x și y  sunt numere reale . Deci f mapează avionul la o linie. Grupul de difereomorfisme plane și de linie acționează asupra spațiului tuturor acestor funcții netede, adică difeomorfismele schimbă coordonatele atât în ​​domeniul definiției , cât și în domeniul valorilor . Această acțiune împarte întregul spațiu al funcțiilor în clase de echivalență , adică orbitele acțiunii de grup.

O astfel de familie de clase de echivalență este notată A k ± , unde k  este un întreg nenegativ. Denumirea a fost introdusă de V. I. Arnold [3] . Se spune că o funcție f are o singularitate de tip A k ± dacă se află pe orbită x 2  ±  y k +1 , adică există o transformare de coordonate difeomorfe în domeniul definiției și în domeniul de valori care iau f într-una dintre aceste forme. Se spune că aceste forme simple x 2  ±  y k +1 definesc forme normale pentru singularitățile de tip A k ± .

O curbă cu ecuația f = 0 va avea un punct de autocontact la origine dacă și numai dacă f are o singularitate de tip A 3 − la origine.

Rețineți că punctul de auto-intersecție al curbei ( x 2  −  y 2 = 0) corespunde singularității A 1 − - . Punctul de autocontact corespunde singularității A 3 − - . De fapt, orice singularitate de tip A 2 n +1 − , unde n ≥ 0 este un număr întreg, corespunde unei curbe care se auto-intersectează. Pe măsură ce valoarea crește, ordinea auto-intersecției crește - secțiune transversală, tangență simplă și așa mai departe.

Singularitățile de tip A 2 n +1 + pentru numerele reale nu prezintă interes - toate corespund punctelor izolate. În numerele complexe , singularitățile A 2 n +1 + și A 2 n +1 − sunt echivalente — ( x , y ) → ( x , iy ) dă difeomorfismul necesar formelor normale.

Vezi și

Note

  1. ↑ 12 Steven Schwartzman . Cuvintele matematicii: un dicționar etimologic al termenilor matematici utilizați în engleză . - Mathematical Association of America , 1994. - S. 217 . — ISBN 9780883855119 .
  2. ↑ Shikin, Frank-Kamentsky, 1997 .
  3. ↑ V. I. Arnold, A. N. Varchenko, S. M. Gusein-Zade. Singularități ale mapărilor diferențiabile. - M . : Nauka, 1982. - S. 143-144.

Literatură

Link -uri