Trilaterație

Trilaterația (din lat. trilaterus - tripartit) este o metodă de determinare a poziției punctelor geodezice prin construirea unui sistem de triunghiuri adiacente pe sol, în care se măsoară lungimile laturilor acestora [1] . Este una dintre metodele de determinare a coordonatelor pe teren împreună cu triangularea (în care se măsoară unghiurile triunghiurilor corespunzătoare) și poligonometria (se măsoară atât unghiurile, cât și distanțele). Trilaterarea se bazează pe o crestătură liniară .

Derivare matematică

Opțiunea 1

În geometrie, problema trilaterării tridimensionale este găsirea coordonatelor punctului de intersecție a trei sfere , care sunt determinate prin rezolvarea unui sistem de ecuații . Pentru a simplifica calculele, presupunem că centrele tuturor celor trei sfere se află în plan , una dintre ele coincide cu originea coordonatelor , a doua se află pe axă . Restricțiile impuse nu reduc generalitatea: orice sistem de ecuații corespunzătoare poate fi redus la această formă prin trecerea la alt sistem de coordonate . Pentru a găsi o soluție în sistemul de coordonate original, soluția găsită în acest sistem de coordonate (redus) este supusă unor transformări care sunt inverse celor care au permis aducerea setului inițial de trei puncte în conformitate cu constrângerile. $z=0$ $X$

Să începem cu ecuațiile pentru cele trei sfere:

{\begin{cases}r_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\\r_{2}^{2}=(xd)^ {2}+y^{2}+z^{2}\\r_{3}^{2}=(xi)^{2}+(yj)^{2}+z^{2}\\\ sfârșit{cazuri}}

Trebuie să găsiți un punct care să satisfacă toate cele trei ecuații. $(x,y,z)$

Mai întâi, scădeți a doua ecuație din prima și găsiți : $X$

x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2d}}

Considerăm că primele două sfere se intersectează în mai mult de un punct, adică . În acest caz, înlocuind expresia în ecuația primei sfere, obținem ecuația cercului , care este intersecția dorită a primelor două sfere: $d-r_{1}<r_{2}<d+r_{1}$ $X$

y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-{\frac {(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}) ^{2}}{4d^{2}}}

Inlocuim : in ecuatia celei de-a treia sfere si gasim : $y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-x^{2}$ $y$

y={\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}-x^{2}+(xi)^{2}+j^{2}}{2j}}={ \frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}+i^{2}+j^{2}}{2j}}-{\frac {i}{j}}x

Cunoscând coordonatele și puteți găsi cu ușurință coordonatele : $X$ $y$ $z$

z=\pm {\sqrt {r_{1}^{2}-x^{2}-y^{2}}}.

Acum avem toate cele trei coordonate. Deoarece este exprimată ca rădăcină pătrată pozitivă sau negativă, o problemă dată poate avea zero, una sau două soluții. $z$

Aceasta poate fi reprezentată luând cercul obținut din intersecția primelor două sfere și găsind intersecția acestuia cu a treia sferă. Dacă acest cerc trece în afara celei de-a treia sfere, coordonata este egală cu rădăcina unui număr negativ, ceea ce înseamnă că nu există o soluție reală . Dacă cercul atinge sfera exact într-un punct, este egal cu zero. Dacă cercul intersectează sfera în două puncte, este egal cu rădăcina pozitivă sau negativă a unui număr pozitiv. $z$ $z$ $z$

Opțiunea 2: fără transformare de coordonate

Folosind faptul că fiecare pereche de sfere se intersectează de-a lungul unui cerc al cărui centru se află pe o dreaptă care leagă centrele sferelor și faptul că acest cerc se află într-un plan perpendicular pe această dreaptă, putem rezolva problema printr-o linie liniară. sistem de ecuații .

Fie centrele sferelor originale, distanțele dintre centrele sferelor și punctul dorit. $O_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),O_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),O_{3}(x_{3} },y_{3},z_{3})$ $d_{ij}$ $X(x,y,z)$

Găsiți - centrul de intersecție al primelor două sfere. $O_{{12}}(x_{1}+\alpha (x_{2}-x_{1}), y_{1}+\alpha (y_{2}-y_{1}),z_{1}+ \alpha (z_{2}-z_{1}))$

|O_{1}O_{{12}}|^{2}+|O_{{12}}X|^{2}=r_{1}^{2}

|O_{2}O_{{12}}|^{2}+|O_{{12}}X|^{2}=r_{2}^{2}

Scădeți a doua ecuație din prima:

|O_{1}O_{{12}}|^{2}-|O_{2}O_{{12}}|^{2}=r_{1}^{2}-r_{2}^{2 }

. Să transformăm:

\alpha ^{2}|O_{1}O_{2}|^{2}-(1-\alpha )^{2}|O_{1}O_{2}|^{2}=r_{1} ^{2}-r_{2}^{2}

\alpha ={\frac {1}{2}}+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d_{{12}}^{2}}}

Punctul dorit se află într-un plan care trece prin și perpendicular pe . Prin urmare, ecuația acestui plan este satisfăcută pentru el: $O_{{12}}$ $O_{1}O_{2}$

(x-(1-\alpha )x_{1}-{\alpha }x_{2})(x_{2}-x_{1})+(y-(1-\alpha )y_{1}-{ \alpha }y_{2})(y_{2}-y_{1})+(z-(1-\alpha )z_{1}-{\alpha }z_{2})(z_{2}-z_ {1})=0

, sau altfel:

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z=((1-\alpha )x_{1}+{ \alpha }x_{2})(x_{2}-x_{1})+((1-\alpha )y_{1}+{\alpha }y_{2})(y_{2}-y_{1 })+((1-\alpha )z_{1}+{\alpha }z_{2})(z_{2}-z_{1})

După înlocuire, obținem: $\alfa$

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d_{{12}}^{2}}}((x_{2}-x_{1}) ^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2})

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2}}

De asemenea,

(x_{3}-x_{1})x+(y_{3}-y_{1})y+(z_{3}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 3}^{2}-x_{1}^{2}+y_{3}^{2}-y_{1}^{2}+z_{3}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}}{2}}

Intersecția celor două plane obținute dă o dreaptă perpendiculară pe planul triunghiului. Intersecția acestei drepte cu planul triunghiului dă un punct - baza perpendicularei de la punctul la planul triunghiului. După ce am completat sistemul cu ecuația planului triunghiului, obținem un sistem liniar de ecuații pentru coordonatele punctului . $O$ $X$ $O$

Ecuația planului triunghiular:

((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{1}))(x- x_{1})+((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1 }))(y-y_{1})+((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{ 3}-y_{1}))(z-z_{1})=0

Unde:

{\vec {n}}((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{ 1}),(z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}), (x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))

este produsul vectorial și .

\overline {O_{1}O_{2}}

\overline {O_{1}O_{3}}

Coeficienții la coordonatele punctului dorit formează o matrice 3x3. Dacă centrele sferelor originale nu se află pe o linie dreaptă, atunci această matrice este nedegenerată și coordonatele dorite se găsesc după aplicarea matricei inverse în partea dreaptă a sistemului. Notați coordonatele găsite ale punctului . Apoi: $O$ $O(x_{0},y_{0},z_{0})$

{\begin{cases}x=x_{0}+k((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1 })(z_{3}-z_{1}))\\y=y_{0}+k((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_ {2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}))\\z=z_{0}+k((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_ {1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))\\k=\pm {\frac {\sqrt {r_{1}^{2}- |OO_{1}|^{2}}}{2S_{O_{1}O_{2}O_{3}}}}\\\end{cases}}

Dezavantaje

Mai întâi

Controlul măsurătorilor distanțelor și al construcțiilor de rețea de trilaterație în sine este prea slab, iar în unele configurații este complet absent, ceea ce este inacceptabil în construcțiile geodezice precise. De exemplu, în primul triunghi cu laturile măsurate, controlul măsurării este complet absent, deoarece nu apare o singură ecuație condiționată, adică nu există măsurători redundante; într-un patrulater geodezic și un sistem central cu laturile măsurate, apare o singură ecuație condiționată, adică există un număr insuficient de măsurători redundante [2] .

A doua

Cu o precizie comparabilă a măsurătorilor unghiulare și liniare, acuratețea transmisiei azimutale în trilaterație este semnificativ mai mică decât în triangulație. Controlul se realizează prin azimuturile Laplace, care permit controlul independent și egalizarea măsurătorilor unghiulare [2] [3] .

A treia

Din punct de vedere tehnic și economic, metoda trilaterării este semnificativ inferioară triangulației. Metoda este complexă atât în munca de teren, cât și în calculele de birou [2] .

Caracteristici

Clase/grade	Lungime laterală, km	Eroare laterală (Eroarea relativă de limitare în determinarea lungimii laterale)	Numărul de triunghiuri dintre origini	Unghiul minim într-un triunghi, arc. grad	Unghiul minim într-un patrulater, arc. grad
clasa a III-a
clasa a IV-a	1-5	1: 50.000	6	douăzeci	25
1 rang	0,5—6	1: 20.000	opt	douăzeci	25
a 2-a categorie	0,25-3	1: 10.000	zece	douăzeci	25

[patru]

Aplicație

Trilaterarea poate fi folosită pentru a localiza loviturile de fulger . Detectoarele care funcționează pe un sistem comun sincronizat pot utiliza diferența de timp de sosire a emisiei radio care însoțește descărcarea pentru a determina distanța de la detector la descărcare. Astfel de sisteme pot fi utile în silvicultură pentru prevenirea incendiilor și urmărirea ciclonilor .

Această metodă poate fi utilizată în unele cazuri la formarea rețelelor geodezice de referință de clase III, IV, concentrarea rețelelor până la 1, 2 categorii. La crearea rețelelor geodezice de stat din clasele I și II, metoda trilaterării nu a fost folosită în URSS [5] [6] [2] .

În legătură cu dezvoltarea și îmbunătățirea acurateței echipamentelor luminoase și cu rază radio, a sistemelor de navigație prin satelit, precum și a tehnologiei informatice și a măsurătorilor de distanță, metodele de trilaterare devin din ce în ce mai importante, în special în practica ingineriei și lucrărilor geodezice [2] .

Vezi și

Note

↑ Serghei Fedorovich Akhromeev, Institutul de Istorie Militară. Dicționar enciclopedic militar. — Militară. editura, 1986. - 863 p.
↑ 1 2 3 4 5 Yakovlev N.V. § 14. METODE DE BAZĂ DE CREARE A REȚELEI GEODETICE DE STAT // Geodezie superioară . - Moscova: Nedra, 1989. - S. 47 -48. — 445 p. - 8600 de exemplare. (Rusă)
↑ Igor Pandul. Astronomia geodezică aplicată la soluționarea problemelor geodezice de inginerie . — Litri, 2017-12-09. — 326 p. — ISBN 9785040943883 . Arhivat pe 21 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ Geodezie inginerească
↑ Trilaterarea, metoda ei - ce este? . Preluat la 4 ianuarie 2020. Arhivat din original la 19 iunie 2020. (nedefinit)
↑ Metode de bază pentru crearea unei rețele geodezice de stat . Preluat la 4 ianuarie 2020. Arhivat din original la 7 ianuarie 2020. (nedefinit)

Literatură

Brinker, R.C. și Minnick, R. 12. Trilateration // The Surveying Handbook . - Chapman & Hall, 1995. - 967 p. — ISBN 9780412985119 .