Polari triunghiulari triliniari

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 ianuarie 2022; verificările necesită 3 modificări .

Polarii triliniari ai unui triunghi sunt niște tipuri speciale de linii drepte asociate cu planul triunghiului și situate în planul triunghiului. Polara triliniară a unui punct Y (polul) în raport cu un triunghi nedegenerat este o linie dreaptă definită de următoarea construcție. Dacă continuăm laturile triunghiului cevian ale unui punct și luăm punctele lor de intersecție cu laturile corespunzătoare, atunci punctele de intersecție rezultate se vor afla pe o singură dreaptă, numită punct de plecare triliniar (figura arată construcția EDF polar triliniar) . a punctului roșu Y ). Aici un triunghi cevian este un triunghi ale cărui trei vârfuri sunt cele trei baze cevian ale triunghiului original.

Proprietăți

EDF polar triliniar intersectează cele trei prelungiri ale celor trei laturi ale triunghiului de susținere ABC în trei puncte astfel încât, împreună cu cele două capete ale laturilor triunghiului și cu baza corespunzătoare a unuia dintre cele trei cevian, formează o armonică . patru puncte situate pe fiecare dintre cele trei laturi, inclusiv prelungirile lor. Pe fig. în dreapta deasupra acestora sunt trei patru puncte armonice: 1) B, C', A, F, 2) B, A', C, D, 3) A, B', C, E.

Exemple de triunghi polari triliniari

• Polara triliniară a centrului cercului înscris (incentrul) este axa bisectoarelor exterioare sau axa antiortică DEF (axa antiortică) (vezi Fig.). Toate cele trei baze D , E și F ale celor trei bisectoare externe AD , CE și BF ale unghiurilor externe ale triunghiului ABC se află pe ea .

• Axa ortică - polara triliniară a ortocentrului (vezi fig.)

• Linia de la infinit  este polara triliniară a centroidului (vezi figura)

• Polara triliniară a punctului Lemoine este axa Lemoine (vezi Fig.)

• Polara triliniară a centrului cercului circumscris este linia dreaptă EDF (vezi Fig.)

• Punctul polar triliniar al lui Kosnit , conjugat izogonal pentru centrul cercului de nouă puncte , este linia dreaptă EDF (vezi Fig.)

• Polarii triliniari ai punctelor situate pe conica circumscrisă se intersectează într-un punct (pentru cercul circumscris acesta este punctul Lemoine , pentru elipsa Steiner circumscrisă  este centroidul )
• Compoziția unei conjugări izogonale (sau izotomice ) și a unei polari triliniare este o transformare de dualitate . Aceasta înseamnă că dacă punctul conjugat izogonal ( izotomic ) cu punctul se află pe polara triliniară a punctului , atunci polara triliniară a punctului conjugată izogonal ( izotomic ) cu punctul se află pe polara triliniară a punctului .

Ortocentric  - Polarul triliniar al ortocentrului este afișat cu roșu.

Variații și generalizări

• Există, de asemenea, conceptul de polară a unui punct P în raport cu o curbă nedegenerată de ordinul doi .
• Polara triliniară a unui punct Y care este conjugat izogonal cu un punct X al unui triunghi se numește linia centrală a punctului X [1] [2] .

Vezi și

• Linia centrală (geometrie)
• Polar și polar

Note

1. ↑ Kimberling, Clark. Puncte centrale și linii centrale în planul unui triunghi  // Revista de matematică  : revistă  . - 1994. - iunie ( vol. 67 , nr. 3 ). - P. 163-187 . - doi : 10.2307/2690608 .
2. ↑ Kimberling, Clark. Centrele de triunghi și triunghiurile centrale  (neopr.) . - Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - p. 285. Arhivat 10 martie 2016 la Wayback Machine