Ortocentru

Ortocentru
Înălțimi și ortocentru
coordonate baricentrice	$\tan A:\tan B:\tan C$
Coordonate triliniare	${\frac {1}{\cos A)):{\frac {1}{\cos B)):{\frac {1}{\cos C))$
cod ECT	X(4)
Puncte conectate
conjugat izogonal	centrul cercului circumscris
Suplimentare	centrul cercului circumscris
Anticomplementare	de Longchamp point

Ortocentrul (din altă greacă ὀρθός „drept”) - punctul de intersecție al altitudinilor unui triunghi sau al prelungirilor acestora. Notat în mod tradițional prin litera latină . În funcție de tipul de triunghi, ortocentrul poate fi în interiorul triunghiului (într-un unghi acut), în afara acestuia (într-un unghi obtuz) sau coincide cu vârful (într-un dreptunghiular coincide cu vârful). în unghi drept). Ortocentrul se referă la punctele remarcabile ale unui triunghi și este enumerat în Encyclopedia of Triangle Centers a lui Clark Kimberling ca punctul X(4). $H$

Proprietăți

Dacă în cele patru puncte , , , punctul este punctul de intersecție al înălțimilor triunghiului , atunci oricare dintre cele patru puncte este ortocentrul triunghiului format de celelalte trei puncte. Un astfel de cvadruplu este uneori numit un sistem ortocentric de puncte (vezi figura). $A$ $B$ $C$ $D$ $D$ $ABC$
- Mai mult, pentru orice împărțire a mulțimii unui sistem ortocentric de puncte în două perechi, de exemplu, și sau pentru orice altă partiție similară, rezultă două segmente de linii cu capete în punctele date ale mulțimilor (în cazul nostru, perpendiculare ). ) sunt întotdeauna perpendiculare, indiferent de alegerea acestor două perechi $\{A,B,C,D\}$ $\{B,C\}$ $\{A,D\}$ $î.Hr$ $ANUNȚ$
- Razele cercurilor care trec prin oricare trei puncte ale unui sistem ortocentric sunt egale (o consecință a teoremei lui Hamilton pentru cercul lui Euler ). Ele sunt adesea denumite cercuri Johnson .
- Ultima afirmație poate fi formulată astfel: Trei segmente de dreaptă care leagă ortocentrul cu vârfurile unui triunghi unghiular ascuțit îl împart în trei triunghiuri cu raze egale ale cercurilor circumscrise (o consecință a teoremei lui Hamilton pentru cercul lui Euler ). În acest caz, aceeași rază a acestor trei cercuri este egală cu raza cercului circumscris în jurul triunghiului original cu unghi ascuțit.

Ortocentrul se află pe aceeași linie cu centroidul , centrul cercului circumscris și centrul cercului de nouă puncte (vezi linia lui Euler ).
Ortocentrul unui triunghi ascuțit este centrul cercului înscris în ortotriunghiul său .
Centrul unui cerc circumscris unui triunghi servește ca ortocentru al unui triunghi cu vârfuri la mijlocul laturilor triunghiului dat. Ultimul triunghi se numește triunghi suplimentar față de primul triunghi.
Ultima proprietate poate fi formulată astfel: Centrul cercului circumscris triunghiului servește ca ortocentru al triunghiului suplimentar .
Punctele simetrice față de ortocentrul triunghiului față de laturile sale se află pe cercul circumscris (vezi figura) [1] .
Punctele simetrice față de ortocentrul triunghiului față de punctele mijlocii ale laturilor se află, de asemenea, pe cercul circumscris și coincid cu puncte diametral opuse vârfurilor corespunzătoare.
Dacă este centrul cercului circumferitor , atunci . $O$ $\triunghi ABC$ $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
- $OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C))={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b ^{2}+c^{2})}}$ [2] [3] :p. 449 , unde este raza cercului circumscris ; sunt lungimile laturilor triunghiului; sunt unghiurile interioare ale triunghiului. $R$ $a,b,c$ $A,B,C$
Cu conjugarea izogonală, ortocentrul merge spre centrul cercului circumscris.
Orice segment trasat de la ortocentru la intersecția cu cercul circumscris este întotdeauna divizat în două de cercul Euler . Aceasta rezultă din faptul că ortocentrul este centrul omotetiei acestor două cercuri cu coeficient . $1/2$
Patru linii care se intersectează în perechi, dintre care trei nu trec prin același punct (padrulateral), formează patru triunghiuri atunci când se intersectează. Ortocentrii lor se află pe aceeași linie dreaptă ( pe linia Aubert ).
Dacă presupunem că ortocentrul triunghiului împarte prima înălțime în părți de lungime și , a doua înălțime în părți de lungime și , a treia înălțime în părți de lungime și , atunci [4] [5] . $u$ $v$ $w$ $X$ $y$ $z$ $uv=wx=yz$
Lanțul de ecuații din ultimul paragraf: înseamnă în esență că cele trei perechi de segmente în care ortocentrul împarte cele trei înălțimi ale unui triunghi unghiular ascuțit respectă regula acordurilor care se intersectează în interiorul cercului, de exemplu :. De aici rezultă automat că prin cele patru capete ale oricăror două înălțimi ale unui triunghi cu unghi ascuțit este întotdeauna posibil să se deseneze un cerc (înălțimile din acesta vor fi coarde care se intersectează). Se pare că această afirmație este valabilă atât pentru triunghiuri obtuze, cât și pentru dreptunghiuri. $uv=wx=yz$ $uv=wx$
Distanța de la latura la centrul cercului circumspectiv este jumătate din distanța de la vârful opus la ortocentru [6] [7] .
Suma pătratelor distanțelor de la vârfuri la ortocentru plus suma pătratelor laturilor este egală cu douăsprezece pătrate ale razei cercului circumscris [8] .
Cele trei baze ale înălțimilor unui triunghi cu unghi ascuțit sau cele trei proiecții ale ortocentrului pe laturile triunghiului formează un ortotriunghi .

Polara triliniară a ortocentrului este axa ortică (vezi figura) $DEF$

Patru ortocentri din patru triunghiuri formate din patru drepte care se intersectează în perechi, dintre care trei nu trec prin același punct, se află pe o singură linie dreaptă (linia lui Auber a patrulaterului ) . Aceleași patru triunghiuri sunt folosite aici ca și în punctul Miquel .

Există o formulă Carnot [9] : $R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C})$ ,

unde , , sunt distanțele de la centrul cercului circumscris , respectiv, la laturile , , ale triunghiului, , , sunt distanțele de la ortocentru, respectiv, la vârfurile , , ale triunghiului.

k_{a)

k_{b)

k_{c)

A

b

c

d_{A}

d_{B}

d_{C}

A

B

C

Distanța de la centrul cercului circumscris la lateral este: $A$ $k_{a}={\frac {a}{2\operatorname {tg} A}}$ ;

distanța de la ortocentru la vârf este: $A$ $d_{A}={\frac {a}{\operatorname {tg} A}}$ .

Sistemul ortocentric . Aici O 1 , O 2 , O 3 și O 4 sunt centrele cercurilor a patru triunghiuri posibile formate din puncte ortocentrice A 1 , A 2 , A 3 și A 4 (vezi Fig.). Trei dintre ele sunt vârfurile triunghiului original, iar al patrulea este ortocentrul acestuia. Razele tuturor celor patru cercuri sunt egale. Centrele a trei dintre cele patru cercuri (cu excepția triunghiului original descris) formează vârfurile unui triunghi egal cu cel original, cu laturile paralele în perechi la laturile triunghiului original.

*Dacă linia ℓ a ortopolului P trece prin ortocentrul Q al triunghiului, atunci punctul situat pe continuarea segmentului PQ care leagă ortopolul cu ortocentrul de pe cealaltă parte la o distanță egală cu PQ se află pe cercul lui Euler. a acestui triunghi. [zece]

Istorie

Afirmația: „Toate cele 3 înălțimi ale unui triunghi se intersectează într-un punct”, numită acum ortocentru , lipsește din Elementele lui Euclid . Ortocentrul a fost folosit pentru prima dată în matematica greacă în Cartea Lemelor a lui Arhimede , deși Arhimede nu a oferit dovada explicită a existenței ortocentrului.

Unii istorici îi atribuie lui Arhimede această afirmație și o numesc teorema lui Arhimede [11] . Până la mijlocul secolului al XIX-lea, ortocentrul a fost adesea numit punctul arhimedian [12] .

Într-o formă explicită, această afirmație („Toate cele 3 înălțimi ale unui triunghi se intersectează într-un punct”) se găsește în Proclus (410-485) - comentatorul lui Euclid [13] .

Alți istorici ai matematicii îl consideră pe William Chapple autorul primei dovezi.( Miscellanea Curiosa Mathematica , 1749) [14] .

Termenul ortocentru a fost folosit pentru prima dată de W. H. Besantîn „Secțiuni conice investigate geometric (1869)” ( [15] ) [16] .

Vezi și

Note

↑ Honsberger, 1995 , p. optsprezece.
↑ Marie-Nicole Gras, „Distanțe între circumcentrul triunghiului extouch și centrele clasice”, Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html Arhivat 28 aprilie 2021 la Wayback Machine
^ Smith, Geoff și Leversha, Gerry, „Euler and triangle geometry”, Mathematical Gazette 91, noiembrie 2007, 436-452.
↑ Altshiller-Court, 2007 , p. 94.
↑ Honsberger, 1995 , p. douăzeci.
↑ Altshiller-Court, 2007 , p. 99.
↑ Honsberger, 1995 , p. 17, 23.
↑ Altshiller-Court, 2007 , p. 102.
↑ Zetel S. I. Noua geometrie a unui triunghi. Un ghid pentru profesori . - Ed. a II-a. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 120-125 (sarcina), paragraful 57, p. 73. (Rusă)
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. (Paragraf: G. Ortopolul. Itemul. 699. Teorema. Fig. 156. P.290-291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
↑ Efremov D. Noua geometrie a unui triunghi. Odesa, 1902, p. 9, p. 16. Înălțimile unui triunghi. Teorema lui Arhimede.
↑ Maureen T. Carroll, Elyn Rykken. Geometrie: linia și cercul . Data accesului: 10 aprilie 2020. (nedefinit)
↑ Nathan Altshiller-Court. Geometrie colegiului. O introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. a doua editie. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 298, § 175.
↑ Bogomolny, Alexander, A Possibly First Proof of the Concurrence of Altitudes , < https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml > . Extras 17 noiembrie 2019. Arhivat 7 mai 2021 la Wayback Machine
↑ Conic Sections Treated Geometrically, 1869. Ref: 1895: Conic sections treated geometrically Arhivat 18 aprilie 2018 la Wayback Machine de la Cornell University Historical Math Monographies.
↑ Nathan Altshiller-Court. Geometrie colegiului. O introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. a doua editie. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. § 176, p. 94; § 176, p. 298

Literatură

Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 volume - M . : MTSNMO , 2004. - S. 37-39. — ISBN 5-94057-170-0 .
Nathan Altshiller-Court. Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului . - Dover Publications, Inc., 2007. - ISBN 0-486-45805-9 .
Ross Honsberger. Episoade din geometria euclidiană din secolul al XIX-lea și al XX-lea . - Asociația de matematică din America , 1995. - Vol. 37. - P. 17-26. - (Noua Bibliotecă Matematică). - ISBN 0-88385-639-5 (Vol. 37). - ISBN 0-88385-600-X (set complet).

Link -uri

Planul viu
Weisstein, Eric W. Orthocenter (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Bernard Gibert Circumcubic K006 (link indisponibil)
Clark Kimberling, Enciclopedia centrelor triunghiulare .
Weisstein, Eric W. „Sistemul ortocentric”. De la MathWorld--O resursă web Wolfram. [unu]

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex