Codurile ternare Golay

Codurile ternare Golay sunt două coduri de corectare a erorilor strâns legate . Codul cunoscut ca cod Golay ternar este un -cod, adică este un cod liniar peste alfabetul ternar . Distanța relativă a codurilor este maximă pentru codurile ternare și, prin urmare, codul Golay ternar este un cod perfect . Codul Golay ternar extins este un cod liniar [12, 6, 6], care se obține prin adăugarea unui număr de cec (dând o sumă zero) la codul [11, 6, 5]. În teoria grupurilor finite, codul Golay ternar extins este uneori denumit pur și simplu codul Golay ternar. ${\displaystyle [11,6,5]_{3))$

Proprietăți

Cod Golay ternar

Cod Golay ternar perfect
Numit după	Marcel Golay
Tip de	cod de bloc
Lungimea blocului	unsprezece
Lungimea mesajului	6
Acțiune	6/11 ~ 0,545
Distanţă	5
Dimensiunea alfabetului	3
Desemnare	${\displaystyle [11,6,5]_{3))$

Codul ternar Golay este format din 3 6 = 729 de cuvinte cod. Matricea sa de verificare a parității

{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccccccccc}1&1&1&2&2&0&1&0&0&0&0\\1&1&2&1&0&2&0&1&0&0&0\\1&2&1&0&1&2&0&0&1&0&0&1&0&0&0&0\\1&1&2&1&0&2&0&1&0&0&0\\1&2&1&0&1&2&0&0&1&0&0&1&0&0&0&0\1&1&2&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&

Oricare dintre cele două cuvinte de cod diferite diferă în cel puțin 5 poziții. Orice cuvânt ternar de lungime 11 are o distanță Hamming de cel mult 2 de la exact un cuvânt de cod. Codul poate fi construit ca un cod de reziduuri pătrate cu lungimea 11 peste un câmp finit F 3 .

Folosit la tombolele de fotbal cu 11 jocuri codul ternar Golay corespunde la 729 de pariuri și garantează exact un pariu cu maximum 2 scoruri greșite.

Setul de cuvinte de cod cu o greutate Hamming de 5 este o diagramă bloc 3-(11,5,4) .

Cod Golay ternar extins

Cod Golay ternar extins
Numit după	Marcel Golay
Tip de	cod de bloc
Lungimea blocului	12
Lungimea mesajului	6
Acțiune	6/12 = 0,5
Distanţă	6
Dimensiunea alfabetului	3
Desemnare	${\displaystyle [12,6,6]_{3))$

Enumerator complet de greutate al codului Golay ternar extins

x^{12}+y^{12}+z^{12}+22\left(x^{6}y^{6}+y^{6}z^{6}+z^{ 6}x^{6}\right)+220\left(x^{6}y^{3}z^{3}+y^{6}z^{3}x^{3}+z^{ 6}x^{3}y^{3}\dreapta).

Grupul de automorfism al grupului de cod ternar extins este 2. M 12 , unde M 12 este grupul Mathieu M12 .

Codul Golay ternar extins poate fi construit ca șiruri ale unei matrice Hadamard de ordinul 12 peste câmpul F3 .

Luați în considerare toate cuvintele cod de cod extins care au șase cifre diferite de zero. Seturile de poziții în care apar aceste cifre diferite de zero formează sistemul Steiner S(5, 6, 12).

Istorie

Codul ternar al lui Golay a fost descoperit de Golay [1] . Codul a fost descoperit independent cu doi ani mai devreme de pasionatul finlandez de pariuri la fotbal Juhani Virtakallio, care l-a publicat în 1947 în numerele 27, 28 și 33 ale revistei de fotbal Veikkaaja [2] .

Vezi și

Cod binar Golay

Note

↑ Golay, 1949 .
↑ Barg, 1993 , p. 25.

Literatură

Alexandru Barg. În zorii teoriei codurilor // The Mathematical Intelligencer . - 1993. - T. 15 , nr. 1 . — S. 20–26 . — ISSN 0343-6993 . - doi : 10.1007/BF03025254 .
Golay MJE Note privind codarea digitală // Proceedings of the IRE . - 1949. - T. 37 . - S. 657 .
Teoria codificării algebrice: istorie și dezvoltare / Blake IF (ed.). — Stroudsburg: Dowden, Hutchinson & Ross, 1973.
JH Conway , NJA Sloane . Ambalaje sferice , grile și grupuri . — New York, Berlin, Heidelberg: Springer , 1988.
Robert L. Griess. Douăsprezece grupuri sporadice . — Springer, 1998.
Cohen G., Honkala I., Litsyn S., Lobstein A. Covering Codes. - Elsevier , 1997. - ISBN 0-444-82511-8 .
th. M. Thompson. De la coduri de corectare a erorilor prin pachete sferice la grupuri simple . - The Mathematical Association of America , 1983. - ISBN 0-88385-037-0 .