Egalizator (matematică)

Un egalizator (de asemenea un nucleu de diferență ) în teoria categoriilor este o generalizare a conceptului de soluție la o ecuație ( algebrică , diferențială etc.), adică o mulțime pe care aceste mapări coincid.

Conceptul dual cu egalizatorul este co- egalizatorul .

Definiție

Egalizatorul de morfism și este limita (dacă există) a diagramei , adică un astfel de morfism încât pentru orice morfism există un morfism unic pentru care următoarea diagramă este comutativă: $f\coloan X\la Y$ $g\colon X\la Y$ $\downarrow \downarrow$ $eq\colon E\to X$ $f\circeq=g\circeq$ $m\colon O\to X$ $u\colon O\to E$

În mod echivalent, egalizatorul poate fi definit ca un pătrat couniversal pentru morfisme și . $f\coloan X\la Y$ $g\colon X\la Y$

Exemple

În categoria mulțimilor, egalizatorul a două mapări și este o încorporare naturală în mulțimea mulțimilor pe care și coincid, adică mulțimile . ${\mathcal {S}}et$ $f$ $g$ $X$ $f$ $g$ $\{x\in X:f(x)=g(x)\}$
Egalizatorul din categoria spațiilor topologice este definit în mod similar . ${\mathcal {T}}op$
În categoria grupurilor abeliene, egalizatorul homomorfismelor coincide cu nucleul diferenței lor. De aceea, egalizatorul dintr-o categorie arbitrară este uneori numit și nucleu de diferență, deși într-o categorie non -preaditivă , în general, diferența de morfisme nu este definită. ${\mathcal {A}}b$

Literatură

McLane S. Capitolul 3. Construcții universale și limite // Categorii pentru matematicianul care lucrează = Categorii pentru matematicianul care lucrează / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .