Multe

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 16 iulie 2022; verificările necesită 4 modificări .

Un set este unul dintre conceptele cheie ale matematicii ; care este o mulțime, o colecție de orice (în general, orice) obiecte - elemente ale acestei mulțimi [1] . Două mulțimi sunt egale dacă și numai dacă conțin exact aceleași elemente [2] .

Studiul proprietăților generale ale mulțimilor este tratat de teoria mulțimilor , precum și de ramurile conexe ale matematicii și logicii matematice . Exemple: un set de locuitori ai unui oraș dat, un set de funcții continue , un set de soluții la o ecuație dată. Un set poate fi gol sau nevid , ordonat sau neordonat , finit sau infinit . Un set infinit poate fi numărabil sau nenumărabil . Mai mult, atât în teoriile multimilor naive , cât și în cele axiomatice , orice obiect este în general considerat a fi o mulțime. Conceptul de mulțime permite aproape tuturor ramurilor matematicii să folosească o ideologie și o terminologie comune.

Istoria conceptului

Bazele teoriei mulțimilor finite și infinite au fost puse de Bernard Bolzano , care a formulat câteva dintre principiile acesteia [3] [4] [5] .

Din 1872 până în 1897 (în special în 1872-1884), Georg Cantor a publicat o serie de lucrări în care au fost prezentate sistematic principalele ramuri ale teoriei mulțimilor, inclusiv teoria mulțimilor de puncte și teoria numerelor transfinite (cardinale și ordinale) [6] ] . În aceste lucrări, el nu numai că a introdus conceptele de bază ale teoriei mulțimilor, dar a și îmbogățit matematica cu argumente de un nou tip, pe care le-a aplicat pentru a demonstra teoreme în teoria mulțimilor, în special, pentru prima dată la mulțimi infinite. Prin urmare, este general acceptat că Georg Cantor a creat teoria mulțimilor. În special, el a definit un set ca „un singur nume pentru colecția tuturor obiectelor care au o anumită proprietate” și a numit aceste obiecte elementele unui set . Mulțimea tuturor obiectelor care au o proprietate (adică o afirmație al cărei adevăr depinde de valoarea variabilei x ), a desemnat el, iar proprietatea în sine a fost numită proprietatea caracteristică a mulțimii $Topor)$ $\{x\mid A(x)\},$ $Topor)$ $X.$

În ciuda calității bune a acestei definiții, concepția lui Cantor a condus la paradoxuri - în special, paradoxul lui Russell .

Deoarece teoria mulțimilor este de fapt folosită ca fundament și limbaj al tuturor teoriilor matematice moderne, în 1908 teoria mulțimilor a fost axiomatizată independent de Bertrand Russell și Ernst Zermelo . Pe viitor, ambele sisteme au fost revizuite și schimbate, dar practic și-au păstrat caracterul. Acestea sunt cunoscute ca teoria tipurilor a lui Russell și teoria mulțimilor lui Zermelo . Ulterior, teoria mulțimilor a lui Cantor a devenit cunoscută sub numele de teoria mulțimilor naivă , iar teoria (în special, Russell și Zermelo), reconstruită după Cantor, a devenit teoria mulțimilor axiomatică .

În practica care s-a dezvoltat de la mijlocul secolului al XX-lea, o mulțime este definită ca un model care satisface axiomele ZFC (axiomele Zermelo-Fraenkel cu axioma alegerii ). Cu toate acestea, cu această abordare, în unele teorii matematice, apar colecții de obiecte care nu sunt mulțimi. Astfel de colecții se numesc clase (de diferite ordine).

Elementul setului

Obiectele care alcătuiesc o mulțime sunt numite elemente de set sau puncte de referință . Seturile sunt cel mai adesea notate cu majuscule ale alfabetului latin , elementele lor sunt litere mici. Dacă este un element al mulțimii , atunci ei scriu (" aparține "). Dacă nu este un element al mulțimii , atunci ei scriu (" nu aparține "). $A$ $A$ $a\în A$ $A$ $A$ $A$ $A$ $a\notin A$ $A$ $A$

Dacă fiecare element al mulțimii este conținut în , atunci ei scriu (" se află în , este submulțimea sa "). Conform teoriei mulțimilor, dacă , atunci pentru orice element fie , fie este definit . $A$ $B$ $A\subset B$ $A$ $B$ $X\subset Y$ $a\în Y$ $a\în X$ $a\nu \in X$

Astfel, ordinea în care sunt scrise elementele unei mulțimi nu afectează mulțimea în sine, adică . În plus, din cele de mai sus rezultă că numărul de apariții ale elementelor identice nu este definit pentru o mulțime, adică înregistrarea , în general, nu are sens dacă este o mulțime. Cu toate acestea, va fi corect să scrieți setul . $\{6,11\}=\{11,6\}$ $A=\{11,11,6,11,6\}$ $A$ $B=\{11,\{11\},\{6,11\},6\}$

Specificarea unui set

Există două moduri principale de a defini seturile : prin enumerarea elementelor și prin descrierea acestora.

Enumerare

Prima metodă presupune specificarea (enumerarea) tuturor elementelor incluse în set. De exemplu, mulțimea numerelor pare nenegative mai mici de 10 este dată de: Este convenabil să se aplice această metodă doar la un număr limitat de mulțimi finite. $Y$ $Y=\{0,2,4,6,8\}.$

Descriere

A doua metodă este utilizată atunci când setul nu poate sau este dificil de specificat prin enumerare (de exemplu, dacă setul conține un număr infinit de elemente). În acest caz, poate fi descris prin proprietățile elementelor care îi aparțin.

O mulțime este specificată dacă este specificată o condiție , care este îndeplinită de toate elementele și care nu este îndeplinită de . desemna $Y\subset X$ $Topor)$ $x\in X:x\in Y$ $x\in X:x\notin Y$ $Y={\big \{}x\in X:A(x){\big \}}.$

De exemplu, graficul unei funcții poate fi definit după cum urmează: $f\coloan X\la Y$

\Gamma ={\big \{}(x,y)\in X\times Y:f(x)=y{\big \)),

unde este produsul cartezian al multimilor. $\times$

Relații între mulțimi

Pentru mulțimi și , relațiile pot fi date : $A$ $B$

$A$ este inclus în dacă fiecare element al mulțimii aparține și setului : $B$ $A$ $B$ $A\subseteq B\Leftrightarrow\forall a\in A\Rightarrow a\in B$
$A$ include dacă este inclus în : $B$ $B$ $A$ $A \supseteq B \Leftrightarrow B \subseteq A$
$A$ este egal dacă și sunt incluse unul în celălalt: $B$ $A$ $B$ $A=B\Leftrightarrow A\subseteq B,\,B\subseteq A$
- Pentru orice seturi $A=A$
- Dacă , atunci $A=B$ $B=A$
- Dacă , atunci . $A=B$ $B=C$ $A=C$

Uneori, o includere strictă ( ) se distinge de una ne-strictă ( ), diferă prin aceea de . Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, strictețea incluziunilor nu este descrisă, motiv pentru care există înregistrări ale incluziunilor arbitrare cu semne stricte de includere. $A\subset B$ $A\subseteq B$ $A\subset B\nu \Rightarrow A=B$

Operații pe platouri

Pentru o reprezentare vizuală a operațiilor, se folosesc adesea diagramele Venn , care prezintă rezultatele operațiilor pe forme geometrice ca seturi de puncte.

Operații de bază

intersecție : (set de puncte comune) $A\cap B=\{x:x\in A,\,x\in B\};$
unire : (set de toate punctele) $A\cup B=\{x,y:x\in A,\,y\in B\};$

Unirea disjuncturii și ( ) înseamnă și:

A

B

A\cap B=\varnimic

A+B=A\cup B;

diferență : (set de puncte ale primului fără al doilea) $A\setminus B=\{x:x\în A,\,x\notin B\};$
diferenta simetrica : $A\bigtriangleup B\equiv A~{\dot {-}}~B=(A\cup B)\setminus (A\cap B);$

adaos pentru (set fără ): $A\subset B$ $B$ $A$ ${\overline {A}}\equiv A^{\complement }=B\setminus A;$

boolean (mulțimea tuturor submulților): $A$ $2^{A}=\{X:X\subset A\}.$

Pentru operațiunile pe seturi, legile lui de Morgan mai susțin :

$A\backslash (B\cap C)=(A\backslash B)\cup (A\backslash C)$

$A\backslash (B\cup C)=(A\backslash B)\cap (A\backslash C)$

Dovada

Introducem indicatorul multimii ca fiind usor de arata ca Demonstram una dintre afirmatii, presupunand ca a doua demonstratie este asemanatoare: . (folosit ) $A$ $I_{a}:X\supset A\to \{0,1\}:I_{a}(x)={\begin{cases}1,\,\forall x\in A,\\0 ,\,\forall x\notin A;\end{cases}}$
$I_{a\cap b}=I_{a}I_{b};\,\,\,I_{a\cup b}=I_{a}+I_{b}-I_{a}I_{ b};\,\,\,I_{a\setminus b}=I_{a}-I_{a}I_{b}.$

$A\backslash (B\cup C)\,\,\Leftrightarrow I_{a}-I_{a}\cdot I_{b\cup c}\,\,\Leftrightarrow I_{a}-I_{a }\cdot (I_{b}+I_{c}-I_{b}\cdot I_{c})=I_{a}-I_{a}\cdot I_{b}-I_{a}\cdot I_{ c}+I_{a}\cdot I_{b}\cdot I_{c}=$
$=I_{a}^{2}-I_{a}^{2}\cdot I_{b}-I_{a}^{2}\cdot I_{c}+I_{a}\cdot I_ {c}\cdot I_{b}=(I_{a}-I_{a}\cdot I_{b})\cdot (I_{a}-I_{a}\cdot I_{c})\Leftrightarrow (A \backslash B)\cap (A\backslash C)$ $I_{a}^{2}=I_{a}$

Prioritatea operațiunilor

Secvența efectuării operațiilor pe mulțimi, ca de obicei, poate fi dată prin paranteze. În absența parantezelor, se efectuează mai întâi operațiile unare (complement), apoi intersecțiile , apoi uniunile , diferențele și diferențele simetrice . Operațiile cu aceeași prioritate sunt executate de la stânga la dreapta. În același timp, trebuie avut în vedere că, spre deosebire de adunarea și scăderea aritmetică , pentru care, în special, este adevărat că , acest lucru nu este valabil pentru operații similare pe mulțimi. De exemplu, dacă atunci dar, în același timp, . $(a+b)-c=a+(bc)$ $A=\{1,3\},B=\{1,2\},C=\{2,3\},$ $(A\cup B)\setminus C=\{1\},$ $A\cup (B\setminus C)=\{1,3\}$

produs cartezian

Un produs cartezian de mulțimi este o mulțime notat cu , ale cărei elemente sunt toate perechile posibile de elemente ale mulțimilor originale; $A$ $B$ $(A\times B)$ $A\times B=\{\{a,b\}:a\in A,\,b\in B\}.$

Este convenabil să ne imaginăm că elementele unui produs cartezian umplu un tabel de elemente, ale cărui coloane descriu toate elementele unui set și, respectiv, rândurile altuia.

Putere

Puterea unei multimi este o caracteristica a multimii care generalizeaza conceptul de numarul de elemente ale unei multimi finite in asa fel incat multimile intre care se poate stabili o bijectie sa fie la fel de puternice. Notat sau . Cardinalitatea unei multimi goale este zero, pentru multimi finite cardinalitatea coincide cu numarul de elemente, pentru multimi infinite se introduc numere cardinale speciale , care se coreleaza intre ele dupa principiul incluziunii (daca , atunci ) si extind proprietatile lui cardinalitatea booleană a unei mulțimi finite: în cazul mulțimilor infinite. Desemnarea în sine este în mare măsură motivată de această proprietate. $|A|$ $\sharp A$ $A\subseteq B$ $|A| \leqslant |B|$ $|2^A| = 2^{|A|}$ $2^A$

Cea mai mică putere infinită este notată , aceasta este puterea unei mulțimi numărabile (bijective ). Cardinalitatea unei mulțimi continue (bijectivă sau ) se notează prin sau . În multe privințe, definiția puterii continuumului se bazează pe ipoteza continuumului - presupunerea că nu există puteri intermediare între puterea numărabilă și puterea continuumului. $\aleph_0$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {R}$ $2^{\mathbb {N} }$ $\mathfrak c$ $2^{\aleph_0}$

Unele tipuri de seturi și obiecte similare

Seturi speciale

O mulțime goală este o mulțime care nu conține niciun element.
O mulțime cu un singur element este o mulțime care are un singur element.
O mulțime universală (univers) este o mulțime care conține toate obiectele imaginabile. În legătură cuparadoxul lui Russell,acest concept este în prezent interpretat mai restrâns ca „un set care include toate seturile și obiectele care participă la problema luată în considerare”.

Obiecte similare

Un tuplu (în special, o pereche ordonată ) este o colecție ordonată a unui număr finit de obiecte numite. Este scris între paranteze sau paranteze unghiulare, iar elementele pot fi repetate.
O mulțime multiplă (în teoria rețelelor Petri este numită „mulțime”) este o mulțime cu elemente multiple.
Un spațiu este un set cu o structură suplimentară.
Un vector este un element al unui spațiu liniar care conține un număr finit de elemente ale unui câmp ca coordonate. Ordinea contează, elementele pot fi repetate.
O secvență este o funcție a unei variabile naturale . Reprezentat ca un set infinit de elemente (nu neapărat diferite), a căror ordine contează.
O mulțime neclară este un obiect matematic similar cu o mulțime a cărei apartenență este dată nu de o relație, ci de o funcție . Cu alte cuvinte, în ceea ce privește elementele unui set fuzzy, se poate spune „în ce măsură” sunt incluse în el și nu doar dacă sunt incluse sau nu în el.

După ierarhie

Un sistem de mulțimi (mulțime de mulțimi) este o mulțime ale cărei elemente sunt, de asemenea, mulțimi, de obicei de origine similară (de exemplu, toate pot fi submulțimi ale unei alte mulțimi) [7] .
- Algebra mulțimilor , inelul mulțimilor sunt exemple de tipuri de structuri care sunt sisteme de mulțimi.
- Booleanul este mulțimea tuturor submulților dintr-o mulțime dată.
O familie de mulțimi este un analog indexat al unui sistem de mulțimi.
Subset
superset

Note

↑ Set // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3. - S. 762.
↑ Stoll, Robert. Multimi, teorii logice si axiomatice . - W. H. Freeman and Company, 1974. - P. 5 .
↑ Steve Russ. Lucrările matematice ale lui Bernard Bolzano . - OUP Oxford, 9 decembrie 2004. - ISBN 978-0-19-151370-1 . Arhivat pe 27 aprilie 2022 la Wayback Machine
↑ William Ewald. De la Kant la Hilbert Volumul 1: O carte sursă în fundamentele matematicii / William Ewald, William Bragg Ewald. - OUP Oxford, 1996. - P. 249. - ISBN 978-0-19-850535-8 . Arhivat pe 22 aprilie 2022 la Wayback Machine
↑ Paul Rusnock. Bernard Bolzano: Viața și opera sa / Paul Rusnock, Jan Sebestik. - OUP Oxford, 25 aprilie 2019. - P. 430. - ISBN 978-0-19-255683-7 . Arhivat pe 17 aprilie 2022 la Wayback Machine
↑ „Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen.” Copie arhivată . Consultat la 22 aprilie 2011. Arhivat din original pe 10 iunie 2011. (nedefinit)
↑ Studopedia - Teoria seturilor . Preluat la 2 mai 2020. Arhivat din original la 25 noiembrie 2020. (nedefinit)

Literatură

K. Kuratovsky , A. Mostovsky . Teoria seturilor / Tradus din engleză de M. I. Pe scurt, editat de A. D. Taimanov. - M . : Mir, 1970. - 416 p.
Stoll R. R. Seturi. Logice. teorii axiomatice. / Traducere din engleză de Yu. A. Gastev și I. Kh. Shmain, editată de Yu. A. Shikhanovich . - M . : Educaţie, 1968. - 232 p.

Logici

Filosofie • Semantică • Sintaxă • Istorie

Grupuri logice

logica clasica	logica aristotelică Logica propozițională Logica de ordinul întâi Logica de ordinul doi logica de ordin superior
logica matematica	teoria multimilor Teoria modelului Teoria computabilității Teoria dovezilor și matematică constructivă Logica liniară sistem formal concluzie firească Calcul de secvență Algebra logicii Logica relevanta Logica deontică logica intuiționistă calculul Lambek
Logica non-clasica	intuitionism logica fuzzy Logica substructurala logica Logica descrierii Logica cu mai multe valori Sinteza logica Logica obligatorie Logica temporală Logica modală ( logica hibridă ) logica epistemică
Logica filozofică	Gândire critică logica informala motiv dedus

Componente

Lista simbolurilor booleene

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare norvegian Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4038613-2 NKC : ph122926