Factorizarea polinoamelor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 noiembrie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Factorizarea unui polinom este o reprezentare a unui polinom dat ca produs al polinoamelor de grade inferioare.

Teorema fundamentală a algebrei afirmă că fiecare polinom din câmpul numerelor complexe poate fi reprezentat ca produs de polinoame liniare și unic până la un factor constant și ordinea factorilor.

Opusul factorizării polinoamelor este extinderea acestora , înmulțirea factorilor polinomii pentru a produce un polinom „extins” scris ca o sumă de termeni.

Polinoame cuadratice

Orice polinom pătratic pe numere complexe (polinoame de forma , unde: , , și ∈ ) poate fi factorizat prin expresii de formă folosind ecuația pătratică . Această metodă este după cum urmează: $ax^{2}+bx+c$ $A$ $b$ $c$ $\mathbb {C}$ $a(x-\alpha )(x-\beta )\$

{\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a(x-\alpha )(x-\beta )\\&=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b ^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right), \end{aliniat}}

unde: și sunt cele două rădăcini ale polinomului găsite la rezolvarea ecuației pătratice . $\alfa$ $\beta$

Polinoame pe numere întregi

(mx+p)(nx+q),

Unde:

mn=a,\pq=c

și

pn+mq=b.

Puteți echivala fiecare binom cu zero și puteți găsi două rădăcini pentru x . La factorizare, este suficient să folosiți aceste formule particulare pentru a rezolva o ecuație pătratică. Să luăm ca exemplu 2 x 2 − 5 x + 2 = 0. Deoarece a = 2 și mn = a , mn = 2, ceea ce înseamnă că m și n sunt 1 și 2. Acum avem (2 x + p )( x + q ) = 0. Deoarece c = 2 și pq = c, pq = 2, ceea ce înseamnă că p și q sunt atât 1, cât și 2, sau unul dintre ei este −1 și celălalt −2. Înlocuind 1 și 2, sau −1 și −2 pentru p și q (deoarece pn + mq = b ), vedem că 2 x 2 − 5 x + 2 = 0 factorizează în (2 x − 1)( x − 2 ) = 0, dând rădăcinile x = {0,5, 2}

Notă: O modalitate rapidă de a determina dacă al doilea termen este pozitiv sau negativ (ca în exemplul de mai sus, 1 și 2 sau −1 și −2) este de a verifica a doua operație a trinomului (+ sau −). Dacă este +, atunci verificăm prima operație: dacă este și +, termenul va fi pozitiv, iar dacă operația este −, atunci termenul va fi negativ. Dacă a doua operație este −, atunci un termen va fi pozitiv, al doilea negativ. Acest test este singura modalitate de a determina care termen este pozitiv și care este negativ.

Dacă un polinom cu coeficienți întregi are un discriminant care este un pătrat perfect, atunci polinomul este factorizabil prin numere întregi.

Luați în considerare, de exemplu, polinomul 2 x 2 + 2 x − 12. Dacă înlocuim valorile în formula pătratică, atunci discriminantul b 2 − 4 ac va fi 2 2 − 4 × 2 × −12 și egal cu 100. Numărul 100 este un pătrat perfect, deci polinomul 2 x 2 + 2 x − 12 este factorizat prin numere întregi; acești factori sunt 2, ( x − 2) și ( x + 3).

Acum luați în considerare polinomul x 2 + 93 x − 2. Discriminantul său 93 2 − 4 × 1 × (−2) este 8657, care nu este un pătrat perfect. Prin urmare, expresia x 2 + 93 x − 2 nu poate fi factorizată prin numere întregi.

Trinom pătrat complet

Unele ecuații pătratice pot fi factorizate prin două binoame identice. Astfel de ecuații se numesc trinoame pătrate complete. Trinomul pătrat complet poate fi factorizat după cum urmează:

a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2},

și

a^{2}-2ab+b^{2}=(ab)^{2}.

Suma/diferența a două pătrate

O altă metodă generală de factorizare algebrică se numește diferența a două pătrate. Constă în aplicarea formulei

a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab),

la oricare doi termeni, indiferent dacă sunt complet pătratici sau nu. Dacă se scad doi termeni, atunci trebuie doar să aplicați formula. Dacă se adună, atunci ambele binoame obținute din factorizare vor avea un termen imaginar. Această formulă poate fi reprezentată ca:

a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi).

De exemplu, puteți factoriza pe . $4x^{2}+49$ $(2x+7i)(2x-7i)$

Grupare

O altă metodă de factorizare a unor polinoame este factorizarea prin grupare. Pentru cei cărora le place să proiecteze algoritmi, „factorizarea prin grupare” poate fi cea mai plăcută abordare a factorizării trinomiale, deoarece necesită anumite presupuneri cu privire la modul în care se va termina procesul.

Factorizarea grupării se face prin aranjarea termenilor unui polinom în două sau mai multe grupuri, fiecare dintre acestea putând fi factorizat într-un mod cunoscut. Rezultatele acestor factorizări pot fi uneori combinate pentru a da o expresie mai simplă. De exemplu, pentru a factoriza un polinom:

$4x^{2}+20x+3yx+15y$

grup ca membrii: $(4x^{2}+20x)+(3yx+15y)$

factorizați prin cel mai mare divizor comun , $4x(x+5)+3y(x+5)$

și factorizați în binoame $(x+5)(4x+3y)$

Metoda AC

Dacă un trinom pătrat are soluții raționale, putem găsi p și q astfel încât și . (Dacă discriminantul este pătratul numărului, atunci ele există, altfel vom avea soluții iraționale sau complexe, iar presupunerea unei soluții raționale este invalidă.) $pq=ac$ $p+q=b$

{\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&={\frac {a^{2}x^{2}+abx+ac}{a))&={\frac {(ax+p) (ax+q)}{a}}\end{aliniat}}

Termenii superiori vor avea factori comuni care pot fi folosiți pentru a scăpa de numitor dacă acesta nu este egal cu 1. Ca exemplu, luați în considerare polinomul pătratic