Factorizați spațiul peste subspațiu

Un spațiu cât cu subspațiu în algebra liniară este un spațiu cât definit pentru un spațiu vectorial prin subspațiul său ca spațiu peste o mulțime de câte în raport cu relația de echivalență . Denumirea - . $(X,\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ $(X_{0},\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ $X$ $x\sim y\Leftrightarrow xy\in X_{0)$ $X/X_{0}$

Cartografierea factorilor

O mapare care asociază fiecare element din clasa de echivalență în care se află se numește mapare coeficient. $\varphi \colon X\mapsto X/X_{0)$ $X$

Maparea factorilor face posibilă definirea unei structuri vectoriale prin specificarea operațiilor după cum urmează: $X/X_{0}$ $\langle +,\;\cdot \rangle$

$x_{1}+x_{2}=\varphi (\varphi ^{-1}(x_{1})+\varphi ^{-1}(x_{2}))\qquad \forall x_{ 1},\;x_{2}\în X/X_{0};$
$\lambda x=\varphi (\lambda \varphi ^{-1}(x))\qquad \forall x\in X/X_{0},\;\lambda \in \mathbb {F} .$

Maparea factorilor pe un astfel de spațiu este liniară.

Proprietăți de mapare a factorilor:

$\varphi \in {\mathcal {L}}(X,\;X/X_{0});$
$\mathrm {im} \,{\varphi}=X/X_{0)$ , adică un epimorfism ; $\varphi$
$\ker \varphi =X_{0)$ , care este echivalent cu . $\varphi ^{-1}(0)=X_{0)$

Definiții înrudite

Conceptul de spațiu coeficient de către un subspațiu permite definirea:

coimagine a unei mapări liniare ; $T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coim} \,T=X/\ker T$
cokernel al mapării liniare cu condiţia ca . $T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coker} \,T=Y/\mathrm {im} \,T$ $\mathrm {im} \,T\in \mathrm {Lat} (Y)$
codimensiunea ; $X_{0}\in \mathrm {Lat} (X)\colon \mathrm {codim} \,X_{0}=\dim X/X_{0)$
Factorul-seminorm în spațiul coeficient generat de seminorm . $p\colon \forall w\in X/X_{0}\quad p_{X/X_{0}}(w)=\inf p(\varphi ^{-1}(w))$

Teoreme înrudite

Existența reducerii prin coimagine:

\forall T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\,\exists {!}\,T_{c}\in {\mathcal {L}}(\mathrm {coim} \,T,\;Y)\colon T=T_{c}\varphi ,\;\ker T_{c}=\{0\}.

Teoreme de izomorfism :

\mathrm {coim} \,T\simeq \mathrm {im} \,T

X_{0},\,X_{1}\in \mathrm {Lat} (X):X=X_{0}\oplus X_{1}\Rightarrow X/X_{0}\simeq X_{1 };\,X/X_{1}\simeq X_{0}

Teorema de continuitate a maparii factorilor :

\varphi \in {\mathcal {B}}(X,\;X/X_{0}).

$\varphi ^{-1}(\ker p_{X/X_{0)))=\mathrm {cl} \,X_{0}.$
$(X/X_{0},\;p_{X/X_{0)))$ — Hausdorff . $\Leftrightarrow X_{0}=\mathrm {cl} \,X_{0}$

Proprietatea Hausdorff a unui spațiu semi-normat, așa cum este bine cunoscut, permite[ clarifica ] definiți norma pe ea , iar metrica prin normă.

Un semn de completitudine - plin - plin. $X\colon X_{0},\;X/X_{0)$ $\Rightarrow X$
$X_{0}$ - hiperplan . $\Leftrightarrow \mathrm {codim} \,X_{0}=1$
Inegalități pentru factorul-seminor subordonat:

\forall w\in X/X_{0},\;\forall x\in \varphi ^{-1}(w)\;p_{X/X_{0}}(w)\leqslant p( X);

\forall w\in X/X_{0},\;\forall \varepsilon >0\;\exists x\in \varphi ^{-1}(w)\colon p(x)\leqslant (1 +\varepsilon )p_{X/X_{0}}(w).

Lema fulgului de nea .

Literatură

Kutateladze S. S. Fundamentele analizei funcționale. - Ed. a 3-a. - Novosibirsk: Editura Institutului de Matematică, 200. - 336 p. — ISBN 5-86134-074-9 . .