Fenomenul Runge

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 10 decembrie 2017; verificarea necesită 1 editare .

Fenomen (fenomen) Runge - în analiza numerică , efectul oscilațiilor nedorite care apare în timpul interpolării prin polinoame de grad înalt . A fost descoperit de Carl Runge în timp ce studia erorile de interpolare polinomială pentru aproximarea anumitor funcții [1] .

Să considerăm o funcție .Dacă o interpolăm prin noduri echidistante între −5 și 5. printr-un polinom cu un grad mai mic sau egal cu , atunci interpolantul rezultat va oscila mai aproape de capetele intervalului. Pe măsură ce gradul polinomului crește, eroarea de interpolare tinde spre infinit: $f(x)={\frac {1}{1+x^{2)}}.$ $x_{i}$ $x_{i}=-5+(i-1){\frac {10}{n)),\quad i\in \left\{1,2,\dots ,n+1\right\}$ $P_n(x)$ $n$ $\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\max _{-5\leq x\leq 5}|f(x)-P_{n}(x)|\right)=\infty .$

Un astfel de efect al creșterii abaterii cu creșterea gradului polinomului depinde atât de succesiunea de noduri aleasă, cât și de funcția interpolată. Și anume, pentru orice succesiune de noduri, se poate alege o astfel de funcție continuă încât eroarea de interpolare a acesteia asupra acestor noduri specifice va crește la infinit. Pe de altă parte, conform teoremei de aproximare Weierstrass , pentru orice funcție continuă pe un interval, se poate alege o secvență de polinoame care converg uniform către această funcție pe un interval. Acest lucru permite teoretic să ridicați (pentru această funcție specială) o secvență de noduri fără fenomenul Runge.

Nodurile Chebyshev pot fi considerate un compromis , eroarea de interpolare asupra lor scade uniform pentru orice funcție absolut continuă .

Note

↑ Runge, Carl . Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten (germană) // Zeitschrift für Mathematik und Physik. - 1901. - Bd. 46 . - S. 224-243 .