Filtru Butterworth

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 17 august 2022; verificările necesită 9 modificări .

Filtrul Butterworth este unul dintre tipurile de filtre electronice . Filtrele din această clasă diferă de altele prin metoda de proiectare. Filtrul Butterworth este proiectat astfel încât răspunsul său în frecvență să fie cât mai neted posibil la frecvențele în bandă de trecere .

Astfel de filtre au fost descrise pentru prima dată de inginerul britanic Stephen Butterworth. în articolul „ Despre teoria amplificatoarelor cu filtru ” , în revista Wireless Engineer în 1930 .

Prezentare generală

Răspunsul în frecvență al filtrului Butterworth este cât mai neted posibil la frecvențele benzii de trecere și scade la aproape zero la frecvențele de suprimare. Când se afișează răspunsul în frecvență al unui filtru Butterworth pe un răspuns de fază logaritmică , amplitudinea scade spre minus infinit la frecvențele de tăiere. În cazul unui filtru de ordinul întâi, răspunsul în frecvență scade cu o pantă de -6 decibeli pe octava (-20 decibeli pe decada ) (de fapt, toate filtrele de ordinul întâi, indiferent de tip, sunt identice și au același răspuns în frecvență). ). Pentru un filtru Butterworth de ordinul doi, răspunsul în frecvență este atenuat cu -12 dB pe octava, pentru un filtru de ordinul trei, cu -18 dB și așa mai departe. Răspunsul în frecvență al filtrului Butterworth este o funcție monotonă a frecvenței.

Filtrul Butterworth este singurul filtru care păstrează forma răspunsului în frecvență pentru ordinele superioare (cu excepția unei declinări mai abrupte în banda de respingere), în timp ce multe alte soiuri de filtre ( filtru Bessel , filtru Chebyshev , filtru eliptic ) au forme diferite . a răspunsului în frecvență la diferite ordine.

În comparație cu filtrele Chebyshev Tipurile I și II sau cu un filtru eliptic, filtrul Butterworth are o rulare mai plată și, prin urmare, trebuie să fie de ordin superior (ceea ce este mai dificil de implementat) pentru a oferi răspunsul dorit la frecvențele de tăiere. Cu toate acestea, filtrul Butterworth are un răspuns de fază mai liniar la frecvențele benzii de trecere.

Ca și în cazul tuturor filtrelor, atunci când se iau în considerare caracteristicile frecvenței, se folosește un filtru trece-jos , din care se poate obține cu ușurință un filtru trece-înalt, un filtru trece- bandă sau un filtru cu crestătură .

Răspunsul în frecvență al unui filtru Butterworth de ordinul al treilea poate fi obținut din funcția de transfer : $G(\omega )$ $n$ $H(e)$

G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac { \omega }{\omega _{c}}}\right)^{{2n}}}}

Unde

$n$ - ordinea filtrului
$\omega_{c}$ - frecvența de tăiere (frecvența la care amplitudinea este -3 dB)
$G_{0}$ - Câștig DC (câștig la frecvență zero)

Este ușor de observat că, pentru valori infinite , răspunsul în frecvență devine o funcție dreptunghiulară, iar frecvențele sub frecvența de tăiere vor fi trecute cu un câștig , în timp ce frecvențele peste frecvența de tăiere vor fi complet suprimate. Pentru valori finite , decăderea caracteristicii va fi blândă. $n$ $G_{0}$ $n$

Cu ajutorul unei substituții formale , reprezentăm expresia sub forma : $s=+j\omega$ $H(s)H(-s)$ $|H(\omega )|^{2)$

H(s)H(-s)={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2 }}}\dreapta)^{n}}}

Polii funcției de transfer sunt situați pe un cerc de rază echidistant unul de celălalt în semiplanul stâng. Adică, funcția de transfer a unui filtru Butterworth poate fi determinată numai prin determinarea polilor funcției sale de transfer în semiplanul stâng al planului s . -al-lea pol se determină din următoarea expresie: $\omega _{c}$ $k$

-{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {2k-1}{n}}=e ^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n

Unde

s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi {2n))\qquad k=1,2,3,\ldots,n

Funcția de transfer poate fi scrisă ca:

H(s)={\frac {G_{0}}{\prod _{k=1}^{n}(s-s_{k})/\omega _{c)))

Considerații similare se aplică filtrelor digitale Butterworth, cu singura diferență că rapoartele sunt scrise nu pentru planul s , ci pentru planul z .

Numitorul acestei funcții de transfer se numește polinomul Butterworth.

Polinoame Butterworth normalizate

Polinoamele Butterworth pot fi scrise într-o formă complexă, așa cum se arată mai sus, dar de obicei sunt scrise ca rapoarte cu coeficienți reali (perechile conjugate complexe sunt combinate folosind înmulțirea). Polinoamele sunt normalizate prin frecvența de tăiere: . Polinoamele Butterworth normalizate au astfel următoarea formă canonică: $\omega _{c}=1$

B_{n}(s)=\prod _{{k=1}}^{({\frac {n}{2}}}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\ frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]

, - chiar

n

B_{n}(s)=(s+1)\prod _{{k=1}}^{{{\frac {n-1}{2}}}}\left[s^{2}-2s \cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]

, - ciudat

n

Mai jos sunt coeficienții polinoamelor Butterworth pentru primele opt ordine:

$n$	Coeficienți polinomi $B_{n}(s)$
unu	$(s+1)$
2	$s^{2}+1{,}41421s+1$
3	$(s+1)(s^{2}+s+1)$
patru	$(s^{2}+0{,}76537s+1)(s^{2}+1{,}84776s+1)$
5	$(s+1)(s^{2}+0{,}61803s+1)(s^{2}+1{,}61803s+1)$
6	$(s^{2}+0{,}51764s+1)(s^{2}+1{,}41421s+1)(s^{2}+1{,}93185s+1)$
7	$(s+1)(s^{2}+0{,}44504s+1)(s^{2}+1{,}24698s+1)(s^{2}+1{,}80194s +1)$
opt	$(s^{2}+0{,}39018s+1)(s^{2}+1{,}11114s+1)(s^{2}+1{,}66294s+1)(s ^{2}+1{,}96157s+1)$

Netezime maximă

Luând și , derivata caracteristicii de amplitudine în raport cu frecvența va arăta astfel: $\omega _{c}=1$ $G_{0}=1$

{\frac {dG}{d\omega }}=-nG^{3}\omega ^{2n-1}

Descrește monoton pentru toți , deoarece câștigul este întotdeauna pozitiv. Astfel, răspunsul în frecvență al filtrului Butterworth nu are ondulație. Când extindem caracteristica de amplitudine într- o serie , obținem: $\omega$

G(\omega )=1-{\frac {1}{2}}\omega ^{{2n}}+{\frac {3}{8}}\omega ^{{4n}}+\ldots

Cu alte cuvinte, toate derivatele caracteristicii amplitudine-frecvență în raport cu frecvența până la -th sunt egale cu zero, ceea ce implică „netezime maximă”. $2n$

Rolloff la frecvențe înalte

După ce am acceptat , găsim panta logaritmului răspunsului în frecvență la frecvențe înalte: $\omega _{c}=1$

\lim _{{\omega \rightarrow \infty }}{\frac {d\log(G)}{d\log(\omega )))=-n

În decibeli , asimptota de înaltă frecvență are o pantă dB/deceniu. $-20n$

Design filtru

Există o serie de topologii diferite de filtre cu care sunt implementate filtre analogice liniare. Aceste scheme diferă doar prin valorile elementelor, structura rămânând neschimbată.

Topologie Cauer

Topologia lui Cauer folosește elemente pasive ( capacitate și inductanțe ) [1] . Un filtru Butteworth cu o funcție de transfer dată poate fi construit sub forma unui Cauer de tip 1. -al-lea element al filtrului este dat de relația: $k$

C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]

; k ciudat

L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]

; k este par

Topologia Sallen-Ki

Topologia Sallen-Key folosește elemente active ( amplificatoare operaționale ) în plus față de cele pasive. Fiecare etapă a circuitului Sallen-Key este o parte a filtrului, descrisă matematic de o pereche de poli conjugați complecși. Întregul filtru este obținut prin conectarea tuturor treptelor în serie. Dacă apare un stâlp real, acesta trebuie implementat separat, de obicei sub forma unui lanț RC și inclus în circuitul general.

Funcția de transfer a fiecărei etape din schema Sallen-Key este:

H(s)={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{ 2}}}

Numitorul trebuie să fie unul dintre factorii polinomului Butterworth. Luând , obținem: $\omega _{c}=1$

C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1

și

C_{2}(R_{1}+R_{2})=2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\right)

Ultima relație dă două necunoscute, care pot fi alese în mod arbitrar.

Comparație cu alte filtre liniare

Figura de mai jos arată răspunsul în frecvență al filtrului Butterworth în comparație cu alte filtre liniare populare de același (al cincilea) ordin:

Se poate observa din figură că filtrul Butterworth are cea mai lentă declinare dintre cele patru, dar are și cel mai bun răspuns în frecvență la frecvențele benzii de trecere.

Exemplu

Luați în considerare un filtru Butterworth de ordinul al treilea analog cu trecere joasă, cu farad, ohm și Henry. Notând impedanța capacităților ca impedanța inductanțelor ca , unde este o variabilă complexă și folosind ecuațiile pentru calcularea circuitelor electrice , obținem următoarea funcție de transfer pentru un astfel de filtru: $C_{2}=4/3$ $R_{4}=1$ $L_{1}=1/2$ $L_{3}=3/2$ $C$ $1/(sC)$ $L$ $sL$ $s=\sigma+j\omega$

H(s)={\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3} }}

Răspunsul în frecvență este dat de ecuația: $G(\omega )$

G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}={\frac {1}{1+\omega ^{6}))

iar PFC este dat de ecuația:

\Phi (\omega)=\arg[H(j\omega )]

Întârzierea de grup este definită ca minus derivata fazei în raport cu frecvența circulară și este o măsură a distorsiunii de fază a unui semnal la frecvențe diferite. Răspunsul în frecvență logaritmică al unui astfel de filtru nu are ondulație nici în banda de trecere, nici în banda de suprimare. $\lg G$

Graficul modulului funcției de transfer în planul complex indică clar trei poli în semiplanul stâng. Funcția de transfer este complet determinată de locația acestor poli pe cercul unitar simetric față de axa reală.

Înlocuind fiecare inductanță cu o capacitate și capacitățile cu inductanțe, obținem un filtru trece-înalt Butterworth .

Vezi și

Note

↑ http://www.falstad.com/circuit/ Arhivat 21 ianuarie 2013 la Wayback Machine Circuit. Filtre pasive. Butterworth Low-pass (10 poli)

Literatură

V.A. Lucas. Teoria controlului automat. — M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky. Carte de referință despre fundamentele teoretice ale electronicii radio. - M .: Energie, 1977.
Miroslav D. Lutovac. Design de filtru pentru procesarea semnalului folosind MATLAB© și Mathematica©. - New Jersey, SUA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2 .
Richard W. Daniels. Metode de aproximare pentru proiectarea filtrului electronic. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Steven W. Smith. Ghidul omului de știință și al inginerului pentru procesarea semnalului digital . - A doua editie. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Britton C. Rorabaugh. Metode de aproximare pentru proiectarea filtrului electronic. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
B. Widrow, SD Stearns. Procesare adaptivă a semnalului. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .
S. Haykin. Teoria filtrului adaptiv. - editia a 4-a. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt. Filtre adaptive - Structuri, algoritmi și aplicații . - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Predicția liniară a vorbirii. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
L. R. Rabiner , R. W. Schafer. Procesarea digitală a semnalelor vocale. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Richard J. Higgins. Procesarea semnalului digital în VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer. Procesarea semnalului digital . - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
L. R. Rabiner , B. Gold. Teoria și aplicarea procesării semnalelor digitale. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Introducere în procesarea semnalelor digitale. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .

Link -uri

Calcul filtru Butterworth cu exemple
Ghidul omului de știință și al inginerului pentru procesarea semnalului digital
Filtre Low Pass
Utilizarea filtrului Butterworth în sinteza sistemului de control Arhivat 22 iunie 2006 la Wayback Machine
Calculul filtrelor recursive
Clasificarea filtrului
Circuite. filtre pasive. Butterworth Low-pass (10 poli)