Transformarea Z

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 martie 2020; verificările necesită 6 modificări .

Transformarea Z ( transformata Laurent ) este convoluția semnalului inițial, dat de o succesiune de numere reale din domeniul timpului, într-o funcție analitică a frecvenței complexe . Dacă semnalul reprezintă răspunsul la impuls al unui sistem liniar , atunci coeficienții de transformare Z arată răspunsul sistemului la exponențiale complexe , adică la oscilații armonice cu frecvențe diferite și rate de creștere/decădere. $E(n)=z^{{-n}}=r^{{-n}}e^{{-i\omega n}}$

Definiție

Transformarea Z, la fel ca multe transformări integrale, poate fi specificată ca unilateral și cu două fețe .

Transformă Z bidirecțională

Transformarea Z pe două fețe a unui semnal temporal discret este dată de: $X(z)$ $x[n]$

X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.

unde este un număr întreg și este un număr complex. $n$ $z$

z=Ae^{{j\varphi }},

unde este amplitudinea și frecvența unghiulară (în radiani per probă) $A$ $\varphi$

Transformă Z unidirecțională

În cazurile în care este definită doar pentru , transformarea Z unilaterală este dată de: $x[n]$ $n\geqslant 0$

X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.

Transformă Z inversă

Transformarea Z inversă este definită, de exemplu, după cum urmează:

x[n]=Z^{{-1}}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{{C}}X(z)z ^{{n-1}}\,dz,

unde este conturul care cuprinde zona de convergență . Conturul trebuie să conțină toate reziduurile . $C$ $X(z)$ $X(z)$

Punând în formula anterioară , obținem o definiție echivalentă: $z=re^{{j\varphi }}$ $x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{\pi }X(re^{{j\varphi }}) e^{{jn\varphi }}\,d\varphi .$

Regiunea de convergență

Regiunea de convergență este un anumit set de puncte pe planul complex la care există o limită finită a seriei: $D$

D=\left\{z{\Big |}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=-m}^{m}x[n]z^{-n}=const <\infty\right\}.

Exemplul 1 (fără regiune de convergență)

Lasă . Extinderea pe intervalul , obținem $x[n]=0{,}5^{n}$ $x[n]$ $(-\infty ,\;\infty )$

x[n]=\{\ldots ;\;0{,}5^{-3};\;0{,}5^{-2};\;0{,}5^{-1 };\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}=\{\ldots ; \;2^{3};\;2^{2};\;2;\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,} 5^{3};\;\ldots\}.

Să ne uităm la suma:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\infty .

Prin urmare, nu există astfel de valori care să satisfacă condiția de convergență. $z$

Relația cu transformarea Laplace

Transformarea biliniară poate fi utilizată pentru a transforma timpul continuu, de exemplu, când se descriu analitic filtrele liniare reprezentate de transformarea Laplace în eșantioane de timp discrete cu o perioadă reprezentată în domeniul z și invers. Această transformare folosește o substituție variabilă: $T,$

s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1))).

Tranziția inversă de la transformarea z la transformarea Laplace este efectuată printr-o schimbare similară a variabilei:

z={\frac {2+sT}{2-sT)).

Transformarea biliniară mapează planul s complex al transformării Laplace la planul z complex al transformării z. Această mapare este neliniară și se caracterizează prin faptul că mapează axa planului s la cercul unitar din planul z. $s=\sigma +j\omega$ $j\omega$

Astfel, transformata Fourier , care este transformata Laplace a unei variabile , trece într-o transformată Fourier în timp discret. Se presupune că există transformata Fourier, adică axa se află în regiunea de convergență a transformării Laplace. $j\omega$ $j\omega$

Tabelul unor transformări Z

Denumiri:

$\theta [n]=\left\{{\begin{array}{c}1,n\geqslant 0\\0,n<0\end{array}}\right.$ este funcția Heaviside .
$\delta[n]=1$ pentru , și pentru toate celelalte n este o secvență delta (a nu se confunda cu simbolul delta Kronecker și funcția delta Dirac). $n=0$ $\delta[n]=0$

	Semnal, $x[n]$	Transformarea Z, $X(z)$	Zona de convergență
unu	$\delta[n]$	$unu$	$\forall z$
2	$\delta[n-n_{0}]$	${\frac {1}{z^{{n_{0))))}$	$z\neq 0$
3	$\theta[n]$	${\frac {z}{z-1}}$	$\|z\|>1$
patru	$a^{n}\theta[n]$	${\frac {1}{1-az^{{-1))))$	$\|z\|>\|a\|$
5	$na^{n}\theta[n]$	${\frac {az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	$\|z\|>\|a\|$
6	$-a^{n}\theta [-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{{-1))))$	$\|z\|<\|a\|$
7	$-na^{n}\theta [-n-1]$	${\frac {az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	$\|z\|<\|a\|$
opt	$\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {1-z^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{ {-2}}}}$	$\|z\|>1$
9	$\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {z^{{-1}}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{{- 2}}}}$	$\|z\|>1$
zece	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {1-az^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{{-1}}\cos(\omega _{0})+a^{ 2}z^{{-2}}}}$	$\|z\|>\|a\|$
unsprezece	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z ^{-2}}}$	$\|z\|>\|a\|$

Vezi și

Link -uri

Weisstein, Eric W. Z-Transform (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Döch G. Ghid pentru aplicarea practică a transformării Laplace și transformării Z. Cu aplicarea tabelelor întocmite de R. Herschel: Per. din germană. Seria: Biblioteca fizico-matematică a unui inginer. 1971. 288 p.

Procesare digitală a semnalului
Teorie	Semnal semnal discret teorema lui Kotelnikov Teoria estimărilor statistice Teoria detectării semnalului
Subsecțiuni	Procesare digitală a semnalului audio Teoria controlului automat Procesarea digitală a imaginii Procesarea vorbirii Procesarea statistică a semnalului
Tehnici	Transformată Fourier discretă (DFT) Transformată Fourier discretă în timp (DTFT) impuls Transformare biliniară consistent Transformarea Z Transformarea Z modificată
Prelevarea de probe	Supereșantionare subeșantionare Reducerea rezoluției Creșterea rezoluției Alianta Filtru Frecvența de eșantionare frecvența Nyquist