Teorema de fluctuație-disipare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 octombrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Teorema fluctuației-dissipare [1] este o teoremă a fizicii statistice care leagă fluctuațiile unui sistem ( densitatea lor spectrală ) cu proprietățile sale disipative . PDT este derivat din presupunerea că răspunsul sistemului la o mică acțiune externă este de aceeași natură cu răspunsul la fluctuațiile spontane.

Teorema fluctuației- disipare face posibilă calcularea relației dintre dinamica moleculară a unui sistem în stare de echilibru termodinamic și comportamentul macroscopic al sistemului observat în măsurătorile dinamice. Astfel, modelele sistemului la nivel molecular pot fi utilizate pentru a prezice cantitativ proprietățile macroscopice liniare ale materialelor.

Abaterea comportamentului sistemelor (chiar neechilibrate) de la teorema fluctuației-dissipare este motivul publicărilor în reviste științifice de top. [2]

Formulare

Dacă răspunsul la o influenţă externă poate fi reprezentat ca $x(t)$ $f(t)$

x(t)=\int \alpha (\tau )f(t-\tau )d\tau

{\tilde x}(\omega )={\tilde \alpha }(\omega ){\tilde f}(\omega )

apoi, conform ecuației 124.9 din volumul „Mecanica statistică” (L. D. Landau și E. M. Lifshits) [3] , densitatea spectrală a fluctuațiilor unei mărimi termodinamice este legată de partea imaginară a susceptibilității generalizate astfel: $S x}$ $\alpha ''(\omega )=\mathrm {Im} \,{\tilde {\alpha }}(\omega )$

S_{x}(\omega )=\hbar \alpha ''(\omega )\coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right)

în timp ce fluctuaţia pătratică medie a mărimii termodinamice $\langle x^{2}\rangle$

\langle x^{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\hbar \alpha ''(\omega)\coth(\hbar \omega /2k_{B}T) {\frac {d\omega }{2\pi }}

Este ușor de observat că în cazul clasic ( ) formula devine $k_{B}T\gg \hbar \omega$

S_{x}(\omega )={\frac {2k_{B}T}{\omega }}\alpha ''(\omega )

și în cuantică ( ) $T\săgeata dreapta 0$

S_{x}(\omega )=\hbar \alpha ''(\omega )

De asemenea, este de remarcat faptul că, deoarece densitatea spectrală a unui proces staționar trebuie să fie uniformă, adesea în locul densității spectrale se utilizează densitatea spectrală unilaterală , care este definită numai pentru semiaxa frecvenței pozitive. O astfel de densitate spectrală este deja integrată de la până la . $S x}$ $S_{x}^{+}=2S_{x}$ $0$ $\infty$

Exemple

Mișcarea browniană

Einstein în lucrarea sa despre mișcarea browniană ( 1905 ) a remarcat că aceleași forțe aleatorii care provoacă mersul aleator în mișcarea browniană provoacă, de asemenea, frecare vâscoasă care acționează asupra particulelor în timp ce acestea se deplasează printr-un fluid. Cu alte cuvinte, fluctuațiile în coordonatele particulelor în raport cu poziția lor de repaus sunt de aceeași natură cu forța de frecare disipativă care trebuie depășită pentru a schimba sistemul într-o anumită direcție.

Din observațiile sale, folosind metodele fizicii statistice, el a dedus o legătură neașteptată între parametrii sistemului - relația Einstein-Smoluchowski :

D={\mu \,k_{B}T}

raportând D , coeficientul de difuzie și μ , mobilitatea particulei ( μ este exprimat ca raportul dintre viteza particulei și forța aplicată, μ = v d / F ), este constanta Boltzmann și T este temperatura absolută . $k_{B}$

Formula Nyquist

În 1928, John B. Johnson a descoperit și Harry Nyquist a explicat fenomenul zgomotului termic . În absența curentului care trece prin rezistența electrică, tensiunea RMS depinde de rezistență și de lățimea de bandă de măsurare : $R$ $k_{B}T$ $\Delta \nu$

\langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu

. Concluzie

La conductorii electrici, cele mai stabile fluctuații sunt cele care duc la apariția undelor staţionare . Numărul de unde electromagnetice staționare cu o frecvență de la până la într-un conductor de lungime , ținând cont de polarizare, este egal cu . Presupunem că fiecare undă staționară are o energie corespunzătoare energiei unui oscilator armonic. Atunci energia undelor staţionare cu frecvenţa de la până va fi . Puterea pe unitatea de lungime a lanțului este . Toată energia curenților de fluctuație se transformă din nou în căldură la rezistență. Pierderea de putere pe unitatea de lungime a unui conductor cu rezistență conform legii Joule-Lenz este , unde este pătratul mediu al EMF de fluctuație pentru undele cu o frecvență de . Obținem formula Nyquist [4] . $\nu$ $\nu +d\nu$ $L$ $dn(\nu )=2\cdot {\frac {2Ld\nu {c))$ $k_{B}T$ $\nu$ $\nu +d\nu$ $dE(\nu )=4\cdot {\frac {L}{c}}d\nu k_{B}T$ $dW={\frac {dE(\nu )}{\frac {L}{c}}}=4k_{B}Td\nu$ $R$ ${\frac {dW(\nu )}{d\nu }}={\frac {\langle {V^{2}}\rangle (\nu )}{R}}$ $\langle V^{2}\rangle$ $\nu$ $\langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu$

Literatură

↑ Herbert B. Callen și Theodore A. Welton. „Ireversibilitate și zgomot generalizat”, Phys. Rev. 83 , 34 (1951) doi : 10.1103/PhysRev.83.34
↑ Mizuno D. și colab . „Nonequilibrium Mechanics of Active Cytoskeletal Networks”, Science 315 , 370 (2007) doi : 10.1126/science.1134404
↑ Landau L. D. , Lifshits E. M. Statistical physics. Partea 1. - Ediția a 5-a. — M .: Fizmatlit , 2001. — 616 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul V). — ISBN 5-9221-0054-8 .
↑ Nozdrev V.F., Senkevich A.A. Curs de fizică statistică. - M., Şcoala superioară, 1969. - p. 189